Quiero encontrar un ejemplo de un grupo finito $G$ , que tiene dos no conjugados $\pi$ -subgrupos de Hall.
Por el teorema de Hall sé que tengo que buscar en la clase de grupos no resolubles. Así que mi $G$ tiene un orden de al menos $60$ y es divisible por al menos tres números primos distintos. Mi idea era encontrar un grupo con dos subgrupos $H_1$ y $H_2$ del orden adecuado para ser $\pi$ -subgrupos de Hall y tal que uno de ellos era normal en $G$ y el otro no. Pero me quedé atascado.
Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme a encontrar este ejemplo.
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Su idea, por desgracia, no puede funcionar. Si un grupo tiene un subgrupo normal de Hall $N$ y $H$ es cualquier subgrupo cuyo orden divide al de $N$ entonces $H\leq N$ (esto se puede demostrar de forma bastante elemental considerando el producto de los subgrupos).