Si$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es$C^1$ con$a \in \mathbb{R}^n$ y clasifica$(Df_a) = m$, pruebe o refute lo siguiente:

Question

Si$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es$C^1$ con$a \in \mathbb{R}^n$ y clasifica$(Df_a) = m$, entonces existe$\epsilon > 0$, tal que$B_\epsilon (f(a)) \subseteq f(\mathbb{R}^n)$.

Mi primer instinto es usar el Teorema de Taylor y probar$f(a+h)-f(a) = Df_a (h) + r(h)$ y ver si puedo convertir$f(a+h) - f(a)$ en una bola de radio épsilon usando el hecho de que$Df_a$ está activado pero realmente no tengo idea de cómo para proceder desde aqui.

Answer 1

Considere un subespacio lineal$V \subseteq \mathbb R^n$ tal que$Df_a$ es un isomorfismo lineal desde$V$ a$\mathbb R^m$. Luego tome$H \subseteq \mathbb R^n$ con$H \oplus V=\mathbb R^n$. Puede encontrar un único$(h_a,v_a) \in H \times V$ con$a=h_a +v_a$

Ahora define $$ \begin{array}{l|rcl} \bar{f} : & V & \longrightarrow & \mathbb R ^m\\ & v & \longmapsto & f(h_a+v)\end {array} $$

$D\bar{f}_{v_a}$ es invertible y puede aplicar el teorema de la función inversa para obtener el resultado deseado.