Conjuntos regulares en la teoría de conjuntos.

Question

Me han llegado a través de la siguiente definición en diferentes libros sobre la teoría de conjuntos:

Un conjunto $x$ es regular iff $(\forall y)(x\in y\implies(\exists w\in y)(w\cap y=\emptyset))$.

Yo no entender este concepto. ¿Qué intuitivamente significa para $x$ a ser regular? Considerando $y=\{x \}$ me dice $x\not\in x$ pero, ¿es la de proporcionar cualquier información más allá de eso?

También se relaciona con regular idiomas en ciencias de la computación?

Un conjunto es regular el fib es el lenguaje de una expresión regular (alternativamente: autómata finito determinista).

Answer 1

El término regular viene desde el axioma de regularidad, que también se conoce como el axioma de las fundaciones.

La declaración significa que $\in$ está bien fundada con respecto a los conjuntos regulares, lo que significa que podemos hacer de la inducción en el $\in$ relación sobre todo el conjunto.

Intuitivamente esto significa que $x\notin x$, ya que el $x\cap\{x\}=\varnothing$ (tiene que ser, desde $x$ es el único elemento de $\{x\}$); y que no es $z$ tal que $x\in z\in x$ nuevo, el uso de $\{x,z\}$ a mostrar que. Y así sucesivamente.

No hay ninguna conexión real con el término de la expresión regular, ya que no se requiere que un conjunto tiene una definición, o que se pueda verificar o determinar de alguna manera. Hay una pequeña conexión, sin embargo, que tener un determinista proceso de verificación puede ser pensado como tener algunas bonita y bien fundado de la construcción.

Pero esto parece artificial, y lo más probable es que el término "regular" vino desde el mismo lugar, se trata en otra parte de las matemáticas. Estos son sólo los objetos que se investiga "regularmente".

Answer 2

No, esto no tiene nada que ver con regular idiomas (del mismo modo, nada que ver con regular cardenales).

Como por intuición, me resulta mucho más fácil pensar en lo que significaría para un conjunto no sea regular:

Un conjunto $x$ es no-regular si hay un $y$ que contiene $x$ como un elemento, tal que para cada a $w\in y$ no es un porcentaje ($z\in w$ que es también en $y$.

Esto significa, en particular, que podemos tomar $w$$x$, y encontrar una cadena de elementos $$ x \ni w_1 \ni w_2 \ni w_3 \ni \cdots $$ donde a cada paso $w_i$ puede ser elegido para estar en $y$, lo que nos permite continuar la cadena indefinidamente.

Así que si un conjunto $x$ es no regular, hay un camino para la construcción de un ser infinitamente descendente $\in$-de la cadena a partir de $x$. (Esto puede ser llevado a cabo dentro de la teoría de conjuntos en sí, si tenemos el Axioma de Elección, y en la meta si tenemos elección).

Por el contrario, si $x$ es regular, entonces no puede ser cualquier cadena infinita $$ x \ni x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni \cdots $$ -- o, al menos, una cadena no puede ser conocido dentro de la teoría de conjuntos en la forma de una función definida en el $\omega$ que se asigna a cada $i$ $x_i$-- debido a que el rango de la función que iba a funcionar como un $y$ que certifica $x$ como no regulares.

Todavía es posible que un elemento de un modelo de la teoría de conjuntos puede ser regular, sin embargo, hay una cadena infinita que podemos ver en el nivel meta, que es, mirando el modelo desde el exterior. (Este será el caso para cualquier modelo de la teoría de conjuntos que contiene no estándar de los números enteros, por ejemplo). Pero en caso de que la cadena no puede ser codificado en su totalidad como un objeto dentro del modelo.