Teorema sobre puntos de inflexión en (polinomios tiempos exponenciales)

Question

Sabemos que una función exponencial "mata" un polinomio, más pronto o más tarde. Aquí creo que de polinomios, que están aumentando y las funciones exponenciales que están disminuyendo. Por ejemplo: $x^2e^{-x^2}$ va a ir a cero, como se $x$ crece, como se $x^7e^{-x^2}$, $(C_1\cdot x^9+C_2\cdot x^{111})e^{-x^7}$ o similar de dicha función.

Estas funciones aumente, disminuya, y vaya a cero asintóticamente (creo que de $C_1$, $C_2$ como positivo).

Ahora, mi pregunta es si hay un teorema diciendo que, después de haber alcanzado su pico, y a medida que x aumenta, la función sólo tiene un punto de inflexión, y los cambios exactamente una vez de cóncava a convexa, como se va a cero? Es esta una consecuencia del hecho de que la función exponencial, en última instancia, domina la función polinomial?

Yo aprecio mucho cualquier idea sobre la generalidad de esta "hipótesis".

Gracias.

Answer 1

Deje $f(x)=p(x)e^{q(x)}$, donde $$p(x)=p_0+p_1x+\dots+p_nx^n,\ p_n\neq0,\ n\geq1$$ $$q(x)=q_0+q_1x+\dots+q_mx^m,\ q_m\neq0,\ m\geq2$$ y existe una $A>0$ tal que, para cada $x>A$: $$p'(x)>0\mbox{ and }q'(x)<0$$ a fin de garantizar el adecuado monotonía, como se pide, lo que implica que $p_n>0$$q_m<0$).

Ahora, vamos a calcular el $f'$: $$f'(x)=\left(p(x)e^{q(x)}\right)'=p'(x)e^{q(x)}+p(x)q'(x)e^{q(x)}=\left(p'(x)+p(x)q'(x)\right)e^{q(x)}$$

Desde $p'(x)>0$, $p$ es estrictamente creciente para cada $x>A$. Por lo $\lim\limits_{x\to+\infty}p(x)=+\infty$ (esto es trivial) y, por lo tanto, tenemos que existe una $B>0$ tal que $p(x)>0$ por cada $x>B$. Ahora, vamos a $M=\max\{A,B\}$. A continuación, para cada $x>M$ tenemos que $p(x)$ es estrictamente positivo y creciente.

De la misma manera, ya que $q'(x)<0$, $q$ es estrictamente decreciente para cada $x>A$. Por lo $\lim\limits_{x\to+\infty}q(x)=-\infty$ (esto es, de nuevo, trivial) y, por lo tanto, existe una $C>0$ tal que, para cada $x>C$, $q(x)<0$. Ahora, vamos a $N=\max\{A,C\}$. A continuación, para cada $x>N$, $q(x)$ es estrictamente negativa y decreciente.

Desde $m\geq2\Rightarrow2n<nm+1\Leftrightarrow n-1<n(m-1)$, tenemos: $$\deg(p'+pq')=\max\{n-1,n(m-1)\}=n(m-1)$$ Así, el coeficiente de $x^{n(m-1)}$ $np_nq_m<0$ - esto es evidente si se expanda $p(x)q'(x)$ - y, por tanto,$p'(x)+p(x)q'(x)<0\Rightarrow f'(x)<0$, lo que significa que $f(x)$ finalmente es estrictamente decreciente. Vamos ahora a definir: $$L=\inf\{y>0:p'(x)+p(x)q'(x)<0\mbox{ for every }x>y\}$$ También vamos a suponer que $p'(x)+p(x)q'(x)$ tiene al menos una raíz real (para asegurar que el pico, mencionado en la pregunta ¿existen). Entonces es obvio que $f'(L)=0$. Ahora vamos a calcular el $f''$,dándose cuenta de que $f'(x)=s(x)e^{q(x)}$ donde $s(x)=p'(x)+p(x)q'(x)$ a que grado $\deg(s(x))=n(m-1)$ y el coeficiente de $x^{n(m-1)}$$mp_nq_m<0$: $$f''(x)=(f'(x))'=\dots=\left(s'(x)+s(x)q'(x)\right)e^{q(x)}$$ Así, tenemos: $$\deg(s'+sq')=\max\{n(m-1)-1,n(m-1)^2\}=n(m-1)^2$$ Así, el coeficiente de la potencia máxima de $x$ $m^2p_nq_m^2>0$ desde $p_n>0$, por lo que, finalmente, $s'(x)+s(x)q'(x)>0$ y estrictamente creciente y, por lo tanto, $f'$ es estrictamente creciente y $f$ es, finalmente, convexo.

Por último, es fácil probar que $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$$ (by induction on the degree of $p(x)$ a través de L' Hospital de la regla es una manera).

Como el número de puntos de inflexión después de $L$ (recuerde, $L$ se ha definido para ser el más grande de la raíz de $f'$ y, por lo tanto, $f$'s más grande de la posición máxima). Bueno, esto es para que no trivial para probar o refutar.

Después de algunos - bueno, ya han pasado más de un par de minutos - experimentar, me encontré con este interesante ejemplo, donde $f(x)=(x^2-x+1)e^{-x^3}$: donde la línea verde es $f$, la línea azul es $f'$ y la línea naranja es $f''$. La clave para esto es que el $f'$ no tiene raíces reales (alteración de esto un poco nos puede dar un ejemplo de $f'$ con una sola raíz). Tenga en cuenta que $f''$ tiene dos raíces reales, que son los dos puntos de inflexión para $f$. En general, tenga en cuenta también que, desde el $\deg(f')=n(m-1)$ $\deg(f'')=n(m-1)^2$ - donde con $\deg(f)$ lo que significa que el grado del polinomio parte de $f$ - $m$ crece, $f''$ puede tener muchas más raíces de $f'$, por lo que es "posible" - al menos de manera intuitiva - para tener más puntos de inflexión después de $f$'s valor máximo.

Edit: (Marchando sonido de percusión), La quería de contra-ejemplo es, como se esperaba, similar a la anterior, con un poco de ajuste; $f(x)=(x^2-x+1)e^{-x^2}$ (los colores siguen siendo los mismos):

Nota importante! Lo que en realidad importa es que $q_m$ es estrictamente negativo. Debe $p_n$ ser negativo, el único cambio sería el camino de la convergencia de $f$ a cero se consigue. En ese caso, $f$ converge a cero y siendo, por último, "abajo", lo que significa que sería estrictamente creciente y cóncava.

Answer 2

Creo que he resuelto el problema, al menos en cierta medida. Yo debería haber sido más claro que, en la terminología de su respuesta, $p(x)$ e (menos) $q(x)$ debe ser convexo. Mis ejemplos de $p(x)$ e (menos) $q(x)$ fueron convexo, pero no he estado esta claramente.

En realidad, a continuación, uno puede estudiar sólo la función exponencial, debido a multiplicar con el polinomio de forma inequívoca "convexifies" el producto de los dos. Así, la cuestión se reduce a, creo, si $e^{-Q(x)}$ donde $Q(x)$ es un polinomio arbitrario con coeficientes positivos, pasa de ser cóncava a convexa como $x$ crece, y eso es todo, o si se puede, a continuación, volver a la cóncava.

La diferenciación $e^{-Q(x)}$ con respecto al $x$ me sale que el signo de la segunda derivada será determinado por el signo de $((Q'(x))^2-Q''(x))$

Todos los derivados son positivos ("por definición").

La expresión será claramente dominado por el primer término (el cuadrado de la primera derivada), como se ha de orden superior $x$-componentes.

Si la derivada segunda se inicia como negativo, tarde o temprano será positivo, y creo (estoy casi seguro) de que esta inversión de la señal que ocurre sólo una vez. Un cambio de signo significa que $e^{-Q(x)}$ pasa de ser cóncava a ser convexo. Así que si no me equivoco se reduce a demostrar esta propiedad de $Q(x)$, es decir, que la expresión en paréntesis cambia de signo sólo una vez.

Answer 3

El reclamo es cleary mal para funciones generales bcz de la siguiente sencilla razón !

Deje $f$ ser una función de la satisfacción de la hipótesis en cuestión a la que quiero.e", después de haber alcanzado su pico, y a medida que x aumenta, la función sólo tiene un punto de inflexión, y los cambios exactamente una vez de cóncava a convexa"

Entonces para cualquier $c \in R$ la función de $f+c$ también satisface los supuestos de que se trate. Por lo $f$ necesidad de no tienden a cero.

Sin embargo, bajo este supuesto se puede probar que $$\lim_{x \to + \infty} f(x) = c \in \Bbb R \cup \{ - \infty \} $$

Ahora, para el caso de $f(x) = p(x) e^q(x)$ donde $p,q$ son polinomios con $q$ no es constante y su coeficiente es negativo, entonces tenemos

$$ \lim_{x \to + \infty } f(x) = \lim_{x \to + \infty } p(x) e^q(x) =0 $$

Y ¿Por Qué? porque primero, tenga en cuenta que para todos los $ n \in \Bbb N $ $$\lim_{x \to + \infty } x^n e^{-x} = \lim_{x \to + \infty } \dfrac{x^n}{e^{x}}= n \lim_{x \to + \infty } \dfrac{x^{n-1}}{e^{x}}= . . . = n !\lim_{x \to + \infty } \dfrac{1}{e^{x}}= 0 $$

Ahora Vamos a $q(x) = - a x^m + h(x) =-\frac{a}{2}x^m -x^m (\frac{a}{2}- \frac{h(x)}{x^m} )$ donde$\deg(h) \leq m-1$, con lo que $$p(x) e^{q(x)} = p(x) e^{-\frac{a}{2}x^m } \times e^{-x^m (\frac{a}{2}- \frac{h(x)}{x^m} )} $$

Obviamente RHS$ \to 0 $.