$X,Y$ NLS de dimensión infinita, no ambos Banach, entonces$\exists T \in \mathcal L(X,Y)$ de manera tal que$R(T)$ no está cerrado en$Y$?

Question

Deje que$X,Y$ sean espacios lineales normados de dimensión infinita, no ambos Banach, entonces, ¿existe necesariamente una transformación lineal continua$T:X \to Y $ tal que$range (T)$ no esté cerrado en$Y$?

Answer 1

Sea$X$ un espacio de Banach y$Y$ la unión creciente de una secuencia de espacios de dimensiones finitas$F_n$. Luego$X = \bigcup T^{-1}(F_n)$ con cada$T^{-1}(F_n)$ cerrado. Por el teorema de la categoría de Baire, algunos$T^{-1}(F_n)$ tienen un interior no vacío, y por lo tanto es todo de$X$. Es decir,$\text{Range}(T)$ es un subespacio de$F_n$, y por lo tanto está cerrado.