Suma entera de irracionales: ¿es "si y sólo si"?

Question

Dado un número entero $n$ y un irracional $r$ , $n>r$ , $n-r$ es irracional pero $r + (n - r)$ la suma de dos irracionales positivos, es un número entero. ¿Es ésta la única forma en que dos irracionales pueden sumar un número entero?

¿Y si se reformula la pregunta utilizando racionales en lugar de enteros? ¿Es que la única manera de que dos irracionales sumen un racional es utilizando la forma $r + (a/b - r)$ ?

Puede $r_{1} + (a/b - r_{2})$ ser racional? ¿Un entero?

Answer 1

Ejemplos como $(1 + \sqrt{2})$ + $(- \sqrt{2})$ efectivamente suman un número racional, pero la relación entre las dos cantidades que se suman no tiene por qué ser tan obvia a primera vista.

He aquí un resultado con el que probablemente esté familiarizado. Para cualquier número real $x$ , $$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1. $$ Obsérvese que, para casi todos los $x$ , $\cos^2(x)$ y $\sin^2(x)$ son trascendentes, por lo que tenemos infinitos ejemplos de números trascendentes que suman un entero.

Ciertamente, un poco de álgebra da $$ \cos^2(x) + (1 - \cos^2(x)) = 1, $$ pero esto se puede hacer con cualquier triple de números. El propósito de mi ejemplo es simplemente mostrar que, a primera vista, la relación entre los números irracionales que se suman no tiene por qué ser tan fácilmente aprehendida de la manera en que uno ve inmediatamente que $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ se anulan entre sí.

Answer 2

Sí, es la única manera de que dos irracionales positivos sumen un entero.

Digamos que tienes dos irracionales positivos, $r$ y $s$ y su suma $r+s=n$ es un número entero. Entonces como $r+s=n$ obtenemos $s=n-r$ Así que $r+s$ es $r+(n-r)$ .

Y si $n$ se supone racional, pero no entero, se aplica el mismo argumento.

Puede $r_1+(a/b-r_2)$ ser racional? Supongo que se refiere a $r_1$ y $r_2$ son irracionales y positivos, y $a/b$ es racional. Entonces podrías tener, por ejemplo, $r_1=1+r_2$ de modo que $r_1$ y $r_2$ no son iguales, y $r_1+(a/b-r_2)= a/b-1$ que es racional. Pero esto sigue siendo un caso de $r+(n-r)$ donde $n$ es racional y $r$ no lo es, a saber $n$ es el número racional $a/b-1$ .

Answer 3

A ver si esto tiene sentido. Llamaremos a su suma x. Así que nuestra ecuación es

$r_1+(\frac ab-r_2)=x$

Restemos $\frac ab$ de ambas partes.

$r_1-r_2=x-\frac ab$

Si $x$ y $\frac ab$ son racionales (supongo que quieres que a y b sean enteros), el lado derecho de esta ecuación es racional. Así que $r_1-r_2$ también debe ser racional. ¿Es esto lo que buscas?

Answer 4

La pregunta es sobre combinaciones lineales de números reales, donde algunos de los números son irracionales, y puede interpretarse como una pregunta sobre si existen relaciones lineales no triviales (donde las triviales son cosas como $\pi + (5-\pi) = 5$ que son propiedades algebraicas generales de todos los números).

En general, lo que se espera es que dado $k$ números irracionales diferentes, no habrá ninguna relación no trivial entre ellos a menos que los números se construyan a partir de menos de $k$ fuentes de irracionalidad "realmente diferentes", valga la redundancia. Las relaciones pueden interpretarse como relaciones lineales o polinómicas (algebraicas) con coeficientes racionales. Podría haber, hipotéticamente, sorpresas, como números enteros distintos de cero $a,b,c$ (si existen) para los que $a + b\pi + ce=0$ y existen algunos tipos conocidos de relaciones sorprendentes, tales como $r_1 = (\sum 1/n^2)$ estar relacionado con $r_2 = \pi^2$ por $6r_1 = r_2$ . Sin embargo, en situaciones concretas suele haber al menos una conjetura específica sobre si puede existir o no una relación con coeficientes racionales entre los números. Si no hay ninguna razón aparente para que exista una relación, normalmente no existe.

La descripción formal de estas ideas es en términos de independencia lineal (sobre los números racionales) y grado de trascendencia (también relativo a los números racionales) de un conjunto finito de números reales. El caso en el que todos los números reales satisfacen ecuaciones algebraicas está cubierto por teoría algebraica de números y se entiende bien, como ocurre cuando un número es trascendental. El caso en el que intervienen varios números trascendentales esencialmente distintos es objeto de teoría de la trascendencia donde hay muchas conjeturas difíciles y menos teoremas que definan lo que se espera en la mayoría de los casos. Una expresión típica de aspecto irracional como $\pi + e^e$ tiene "probabilidad 1" de ser irracional pero no se conoce ninguna prueba de que lo sea. Un conjunto de varios irracionales como $\pi$ , $e$ , $\zeta(5)$ normalmente será lo más trascendental posible (grado de trascendencia máximo) pero la prueba está fuera de nuestro alcance.