Deformación de paquetes de líneas en variedades abelianas.

Question

Deje $X$ ab un abelian variedad de más de $\mathbb C$. Me gustaría entender cómo la línea de paquetes en $X$ deformar. Las obstrucciones a deformar la línea de paquetes de mentira en $$\textrm{Ext}^2(L,L)=H^2(X,\mathscr O_X).$$ Es este el espacio vectorial trivial? Si es así, esto implica, en particular, la suavidad de la Picard esquema. Sé que esto es muy clásica, pero no puedo encontrar una referencia.

Tenga en cuenta que lo que pido es equivalente a preguntarse acerca de la surjectivity del mapa $$\textrm{Pic }X\overset{c_1}{\longrightarrow}H^2(X,\mathbb Z).$$

También, creo que sería curioso saber si la respuesta a los cambios en característica positiva...

Gracias!

Answer 1

Como dice el comentario,$\dim H^2(X,\mathcal{O}_X)=\binom{g}{2}$. En general (ver el libro Abkenian Varieties de Birkenhake y Lange, Teorema 3.5.5),$$\dim H^q(X,\mathcal{O}_X)=\binom{g}{q}.$ $ Además, el primer mapa de clase de Chern$\mbox{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb{Z})$ nunca es inyectable, ya que$$\mbox{rank} (c_1(\mbox{Pic}(X)))\leq g^2$ $ (ver Ejercicio 2.6 (5) de Birkenhake-Lange) y$$H^2(X,\mathbb{Z})\simeq\wedge^2\mathbb{Z}^{2g}$ $ que es de rango$\binom{2g}{2}$.