Teoría de conjuntos - Exponentes ordinales - Aritmética

Question

Así que me he topado con un problema con la simplificación de la declaración, con ω ser el primer ordinal infinito:

$(ω2)^ω$

Ahora, en el caso de un ordinal finito $a$ como un exponente, es fácil inductivamente demostrar que

$(ω2)^a = (ω^a)2$

Sin embargo, esto es un poco confuso en cuanto a lo que sucede con el infinito exponente.

Así que cuál de las siguientes sería la verdadera y por qué:

$(ω2)^ω = (ω^ω)2$

-o bien-

$(ω2)^ω = ω^ω$ ?

Podríamos considerar que la $(ω2)^ω$ como

$ω(2ω)(2ω)...2$

(que en cierto modo parece una tontería ya que no hay "última" término), o como

$ω(2ω)(2ω)...$

El problema es que nos están oscilando de ida y vuelta entre el$ω$$2$. Hace esto, incluso tienen un claro valor?

Answer 1

SUGERENCIA: Supongo que por$\omega2$ te refieres al producto ordinal$\omega\cdot 2=\omega+\omega$. Para cualquier ordinal$\alpha$,$\alpha^\omega=\sup_{n\in\omega}\alpha^n$, entonces usted tiene

PS

Claramente$$(\omega\cdot 2)^\omega=\sup_{n\in\omega}(\omega\cdot 2)^n=\sup_{n\in\omega}\left(\omega^n\cdot 2\right)\;.$ para cada$\omega^n<\omega^n\cdot 2<(\omega\cdot 2)^\omega$, y$n\in\omega$, así que$\sup_{n\in\omega}\omega^n=\omega^\omega$. Intente establecer la desigualdad opuesta también, considerando cómo se compara$\omega^\omega\le(\omega\cdot 2)^\omega$ con$\omega^n\cdot 2$.