¿Cuál es el siguiente paso en la prueba? (Inducción matemática) $\left(x^{n}+1\right)<\left(x+1\right)^{n}$

Question

Tengo que probar esta preposición por inducción matemática:

$$\left(x^n+1\right)<\left(x+1\right)^n \quad \forall n\geq 2 \quad \text{and}\quad x>0,\,\, n \in \mathbb{N}$$

Me empecé a probar con $n=2$:

$\left(x^{2}+1\right)<\left(x+1\right)^{2}$

$x^{2}+1<x^{2}+2x+1$

Vemos que;

$x^{2}+1-x^{2}-1<2x$

$0<2x$

Entonces

$x>0$

Y esto se lleva a cabo para $n=2$

Ahora para $\quad n=k \quad$ (Hipótesis)

$\left(x^{k}+1\right)<\left(x+1\right)^{k}$

Tenemos

$\displaystyle x^{k}<\left(x+1\right)^{k}-1\ldots \quad (1)$

Entonces, debemos demostrar que para $\quad n= k+1 \quad$ (Tesis):

$x^{k+1}+1<\left(x+1\right)^{k+1}$

Desarrollamos antes de la expresión como:

$x^{k+1}<\left(x+1\right)^{k+1}-1\ldots \quad (2)$

De acuerdo a los pasos de la inducción matemática, la próxima stpe sería utilizar la hipótesis de $(1)$ a demostrar la tesis de $(2)$. Es aquí cuando dudo si la siguiente que voy a escribir es correcta:

Primera forma:

Multiplicamos la hipótesis de $(1)$ por $\left(x+1\right)$ y tenemos:

$x^{k}\left(x+1\right)<\left[\left(x+1\right)^{k}-1\right]\left(x+1\right)$

$x^{k}\left(x+1\right)<\left(x+1\right)^{k+1}-\left(x+1\right)$

La última expresión dividido por $\left(x+1\right)$ más que la expresión de $(1)$:

$\displaystyle \frac{x^{k}\left(x+1\right)<\left(x+1\right)^{k+1}-\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)}$

$x^{k}<\left(x+1\right)^{k}-1$

Segunda forma:

Si multiplicamos $(2)$ por $x$ tenemos:

$xx^{k}<x\left[\left(x+1\right)^{k}-1\right]$

$x^{k+1}<x\left(x+1\right)^{k}-x$

Y si volvemos a dividir a la última expresión por $x$, llegamos al mismo resultado

$\displaystyle \frac{x^{k+1}<x\left(x+1\right)^{k}-x}{x}$

$x^{k}<\left(x+1\right)^{k}-1$

No encuentro otra manera de probar esta demostración, otra manera de resolver el problema es el uso de Newton del teorema binomial coeficients, pero la prueba radica en la técnica de uso de la inducción matemática. Si alguien me puede ayudar, voy a estar muy agradecido con él/ella! Gracias -Víctor Hugo-

Answer 1

Supongamos que $(1+x)^n>1+x^n$ para algunos $n\ge 2$ . Luego $$ (1 + x) ^ {n +1} = (1 + x) ^ n (1 + x)> (1 + x ^ n) (1 + x) = 1 + x + x ^ n + x ^ {n +1}> 1 + x ^ {n +1} $$ desde $x>0$ donde en la primera desigualdad utilizamos la hipótesis de inducción.

Answer 2

Probaremos que es cierto con $n=k$ . De hecho, necesitamos demostrar que es cierto con $n=k+1$ .

O necesitamos probar $x^{k+1}+1<\left(x+1\right)^{k+1}$

Tenemos: $RHS=(x+1)\cdot (x+1)^k>(x+1)\cdot (x^k+1)$ (Hipótesis)

$=x(x^k+1)+(x^k+1)=x^{k+1}+x^k+x+1$

$>x^{k+1}+1=RHS$ $(x>0)$%