¿Qué pasa si cambiamos la definición de límite como sigue?

Question

En la definición de límites, ¿por qué no podemos tener "existe delta para todos los épsilon" en lugar de "para todos los épsilon que existen delta"

Answer 1

"Para cualquier $\epsilon$, existe un $\delta$" significa que cuando usted consigue una $\epsilon$, es posible encontrar algunos $\delta$ que facilita el trabajo.

"Existe un $\delta$ tal que para cualquier $\epsilon$" significa que no hay una sola $\delta$ que funciona sin importar lo $\epsilon$ podría ser.

Una analogía podría hacer: Tomar la declaración "Para cualquier hombre, hay una mujer que se supone que es para él". No es una indignante declaración. Algunos podrían concurso, pero la idea ha sido durante siglos, y mucha gente va a defender su verdad en su lecho de muerte.

La declaración "No es una mujer, tal que para cualquier hombre, que ella es para él", por otro lado, implica que hay una mujer en algún lugar que es de todos futura esposa (pobre chica). Creo que va a tener que buscar mucho para encontrar a alguien que realmente cree en esto.

Answer 2

Pero una condición necesaria (aunque no suficiente) para que eso suceda es que$f$ debe ser uniformemente continuo, y no solo continuo; de lo contrario,$\delta$ es una función de$\epsilon $

Answer 3

Porque la idea del límite es que "podemos hacer que$f(x)$ se acerque arbitrariamente a$L$, haciendo que$x$ esté lo suficientemente cerca de$a$". En otras palabras, en lugar de analizar el dominio y ver qué sucede en el rango, analizamos el rango e intentamos modificar el dominio de manera apropiada. Así que decimos "para todos$\epsilon$ (Rango) existe un$\delta$ (Dominio)" en lugar de viceversa.

Answer 4

Voy a trabajar un concepto similar: la Continuidad.

Si tenemos en la definición de "existe un delta tal que para todo epsilon", entonces un montón de intuitivamente "continuo" funciones " (aquellos cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz) no ser continua.

Por ejemplo, tomar la identidad de la función $f(x)=x$ definido en $\mathbb R$, $f$ es continua en a $0$ en el modo intuitivo, pero no con la "nueva" definición ya que no es cierto que existe una $\delta>0$ tal que para cada a $\varepsilon>0$ (lo que sea que usted elija), si $|x|<\delta$ $|f(x)|=|x|<\varepsilon$ (si $\delta$ existe, a continuación, tome $x=\varepsilon=\delta/2$, $|x|<\delta$ pero $|f(x)|=|x|\nless \varepsilon$).

Answer 5

'Existe un$\delta>0$ tal que para todo $\varepsilon>0$, si$\,\lvert x-x_0\rvert <\delta$, entonces$\,\lvert f(x)-\ell\rvert<\varepsilon$'

implica que$f(x)-\ell=0$, es decir,$f(x)=\ell\,$ tan pronto como$x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$.