Para facilitar la notación, voy a explicar cómo construir de la nada-desaparición de holomorphic forma de volumen en el caso de $n = 2$, donde el Calabi-Yau hipersuperficie es una cuártica 3d de la superficie. Este método se generaliza para todos los $n$.
Vamos a centrarnos primero en el afín parche:
$$ U = \{ [1 : z_1 : z_2 : z_3] \ \vert \ (z_1, z_2, z_3) \in \mathbb C^3 \} \subset \mathbb{CP}^3.$$
En este afín parche $U$, la hipersuperficie se define por una ecuación polinómica:
$$ f_{\rm quartic}(z_1, z_2, z_3) = 0.$$
Para cada una de las $i \in \{1,2,3 \}$, podemos definir el subconjunto abierto
$$ V_i = \left\{ (z_1, z_2, z_3) \in \mathbb C^3 \ \big\vert \ \frac{\partial f_{\rm quartic}}{\partial z_i}(z_1, z_2, z_3) \neq 0\right\} \subset U.$$
Desde $f_{\rm quartic}(z_1, z_2, z_3)$ es no-singular, tenemos
$$ U = V_1 \cup V_2, \cup V_3.$$
Ahora, observa que el $z_2$ $z_3$ formar un conjunto de holomorphic coordenadas en $V_1$, por el holomorphic teorema de la función implícita (con $z_1$ determinado holomorphically en términos de$z_2$$z_3$). Declaraciones similares presionado para$V_2$$V_3$.
Por lo tanto, podemos definir la no-desaparición de holomorphic de dos formas $\Omega_{V_1}$, $\Omega_{V_2}$ y $\Omega_{V_3}$ $V_1, V_2, V_3$ respectivamente:
$$ \Omega_{V_1} = \frac{dz_2 \wedge dz_3}{\partial f_{\rm cuártica}/\partial z_1}, \ \ \ \ \
\Omega_{V_2} = \frac{dz_3 \wedge dz_1}{\partial f_{\rm cuártica}/\partial z_2}, \ \ \ \ \
\Omega_{V_3} = \frac{dz_1 \wedge dz_2}{\partial f_{\rm cuártica}/\partial z_3},$$
Es fácil ver que $$\Omega_{V_1} = \Omega_{V_2}$$ on $V_1 \cap V_2$. [Uno puede comprobar multiplicando la ecuación
$$ \frac{\partial f_{\rm quartic}}{\partial z_1} dz_1 + \frac{\partial f_{\rm quartic}}{\partial z_2} dz_2 + \frac{\partial f_{\rm quartic}}{\partial z_3} dz_3 = 0$$
por $\wedge dz_3$.]
Del mismo modo, $\Omega_{V_2} = \Omega_{V_3}$$V_2 \cap V_3$, e $\Omega_{V_3} = \Omega_{V_1}$$V_3 \cap V_1$.
Así $\Omega_{V_1}$, $\Omega_{V_2}$ y $\Omega_{V_3}$ pegamento juntos para definir un no-desaparición de holomorphic dos forma- $\Omega$ sobre el conjunto de los afín parche $U$.
Queda la posibilidad de que $\Omega$ pueden desaparecer, o divergen, en el hyperplane
$$ H = \{ [0 : x_1 : x_2 : x_3] \ \vert \ [x_1 : x_2 : x_3] \in \mathbb{CP}^2 \}$$
lo que no está cubierto por el afín parche $U$. Debemos mostrar que esto no suceda.
Expresando esto en el lenguaje de los divisores, sabemos que ${\rm div}(\Omega) = nH$ algunos $n \in \mathbb Z$, y nuestra tarea es mostrar que $n = 0$. Pero esto es obvio: desde $\Omega$ es un meromorphic sección de la canónica paquete, que es trivial para el cuarto grado por contigüidad, el divisor de la clase ${\rm div}(\Omega)$ es la trivial divisor, por lo tanto $n = 0$. [O si desea evitar divisores, a continuación, sólo calcular lo $\Omega$ es después del cambio de coordenadas y verás...]
Como Gunnar señalado, la búsqueda de una Ricci-plano de la métrica en la cuártica K3 es un problema mucho más difícil. Tan lejos como soy consciente de mis colegas en la teoría de cuerdas sólo saber cómo se aproxima a este numéricamente.
