Si$f: [1,\infty)\to [e,+\infty)$ está aumentando,$\int_1^\infty \frac{dx}{f(x)}=+\infty$, muestre que$\int_1^\infty \frac{dx}{x\ln f(x)}=+\infty$.

Question

Si $f: [1,\infty)\to [e,+\infty)$ está aumentando y $$\int_1^\infty \frac{dx}{f(x)}=+\infty$$show that $$\int_1^\infty \frac{dx}{x\ln f(x)}=+\infty$ $

¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Vamos a demostrar el contrapositivo. Supongamos que $\displaystyle \int_1^\infty \frac{dx}{x\ln f(x)}<\infty$.
Desde $x\mapsto \frac 1{x\ln f(x)}$ es monótona, la serie $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac 1{n\ln f(n)}$ es convergente, y por Cauchy condensación de criterio, por lo que es $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac 1{\ln f(2^n)}$. Por un estándar de resultados sobre la convergencia de los positivos de la serie con la disminución de los términos, tenemos $\displaystyle \frac n{\ln f(2^n)}\xrightarrow[n\to \infty]{} 0^+$

Desde $x\mapsto \frac 1{f(x)}$ es monótona, $\displaystyle \int_1^\infty \frac{dx}{ f(x)}$ converge si y sólo si $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac 1{f(n)}$ es convergente, y por la condensación de nuevo esta serie converge si y sólo si $\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac {2^n}{f(2^n)}$ es convergente. Tenga en cuenta que $$\sqrt[n]{\frac {2^n}{f(2^n)}} = \frac{2}{\exp(\frac 1n \ln f(2^n))} \xrightarrow[n\to \infty]{} 0 $$ Por la raíz de la prueba, la serie converge.