Reclamo: Para la función continua $g:[0,1]\rightarrow[0,1] \exists x \in [0,1]: g(x_1) = x_1$
Prueba:
Caso 1: Si g(0) = 0 y g(1) = 1, entonces g tiene al menos un punto fijo en uno de los extremos del intervalo. Esto significa $\exists x_1\in[0,1]: g(x_1)= x_1$
Caso 2: Supongamos $g(0) \ne 0 $ e $g(1) \ne 1 \Rightarrow$ g no tiene un punto fijo en uno de los extremos del intervalo. Por lo tanto, tenemos que g(0) > 0 ya que (0 < g(0) < 1) y g (1) < 1 desde (0 < g(1) < 1) definir:
$$h(x) := g(x) -x$$
$\Rightarrow$ h es continua, ya que se construye por la suma de dos funciones continuas. Ahora:
$$h(0)= g(0)-0>0. \,\,By \,\, g(0)>0$$ $$h(1) = g(1) - 1 < 0. \,\, By \,\, g(1) < 1$$
Por el valor intermedio de thm. $\Rightarrow \exists x_1 [0,1]: h(x_1) = 0$ esto implica $\Rightarrow g(x_1)-x_1= 0 \iff g(x_1) = x_1$
Por lo tanto $x_1$ es un punto fijo de g. Por ello, la demanda se demuestra. q.e.d
Ahora me estoy preguntando para la verificación de la prueba.
