¿Cuál es la probabilidad de que dos cartas extraídas de un mazo sean ambas cartas con caras y al menos una sea roja?

Question

Dos cartas al azar de una baraja de cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean tarjetas de la cara y al menos uno es rojo? Asumir que no se $52$ tarjetas y sin reemplazo.

Tengo dos métodos diferentes, y tienen diferentes soluciones. El segundo método a continuación es el mismo que el del profesor de respuesta: $0.0385$, pero la primera no. Lo que está mal con mi primera solución?

Método 1: $\frac{12\cdot11}{52\cdot51}\cdot\frac{3}{4}=0.0373$. Tengo este porque me calcula la probabilidad de que tengo dos tarjetas de la cara, y luego me multiplicado por $\frac {3}{4}$ porque no es $\frac {3}{4}$ de probabilidad de que puedo obtener al menos $1$ roja.

Método 2: $\frac{\binom{12}{2}}{\binom{52}{2}}-\frac{\binom{6}{2}}{\binom{52}{2}}=0.0385$. La primera fracción es la probabilidad de que ambas son tarjetas de la cara. La segunda fracción es la probabilidad de que ambas sean tarjetas de la cara y negro.

Answer 1

Tu error está en pensar que hay un $\tfrac34$ de probabilidad de obtener al menos $1$ rojo; esta sería la probabilidad de que al dibujo con reemplazo. Pero sin reemplazo, el color de la tarjeta, afecta a las posibilidades del color de la otra tarjeta.

Si se tiene en cuenta el número de maneras de sacar dos cartas, usted encontrará que hay $\tbinom{12}{2}=66$ maneras. El número de maneras de dibujar sin tarjetas rojas es $\binom{6}{2}=15$, por lo que el número de maneras de dibujar al menos una tarjeta roja es $66-15=51$. Esto significa que la probabilidad de que al menos una de las dos cartas en rojo es $\tfrac{51}{66}\neq\tfrac{3}{4}$. Su segundo cálculo también lo refleja.

Answer 2

$3/4$ es la probabilidad de que dos cartas robadas con reemplazo no sean negras. Sin embargo, debido a que las cartas se extraen sin reemplazo, no puede usar este cálculo (el color de la primera carta afecta las probabilidades de color de la segunda carta).