Supongamos que tenemos el sistema
$$ \begin{cases} u_t + av_x = 0 \\ v_t + b u_x =0 \end{cases} $$
donde $a,b \in \mathbb{R}$ .
Si escribimos esto de la forma ${\bf u}_t + A {\bf u}_x = 0$ donde ${\bf u} = (u,v)^T$ observamos que
$$ A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$$
lo que implica que el sistema ${\bf hyperbolic}$ cuando $ab \neq 0$ porque de lo contrario $A$ no es diagonalizable. Quiero derivar un esquema upwind para resolver tal sistema. Estoy pensando en este esquema
$$ {\bf u}_{k}^{n+1}= {\bf u}_k^{n} - \frac{\Delta t }{\Delta x } A ({\bf u}_{k}^{n} - {\bf u}_{k-1}^{n})$$
¿No es la condición de estabilidad la misma que si hiciéramos para $q_t + c q_x = 0$ ?
Ahora, aquí es donde no entiendo cómo resolver el problema. ¿Qué pasa si imponemos las condiciones iniciales
$$ \begin{cases} u(x,0) \\ v(x,0) \end{cases} = \begin{cases} \{ u_L, v_L \} & x<0 \\ \{ u_R, v_R\} & x>0\end{cases}$$
¿cómo encontrar las soluciones de Riemman del sistema?
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Si $A$ fueran diagonales, el sistema se desacoplaría. Para su sistema acoplado, $A=\pmatrix{0&a\\b&0}$ es antidiagonal.