¿Usando la regla de la cadena para diferenciar$f(x)=a(x)b(x)$?

Question

¿Por qué no puedo aplicar la regla de la cadena a un producto de la siguiente manera?

Si tenemos algún producto:

PS

Considere la multiplicación de b por a como función de otro para que:

PS

Así que eso

$$f(x)=a(x)b(x)$

Algo se siente muy mal. Pero no puedo poner mi dedo en ello.

Answer 1

Escribe $\mu(u,v)=uv$ . Luego $$ \ mu_1 (u, v) = \ frac {\ partial \ mu} {\ partial u} (u, v) = v, \ quad \ mu_2 (u, v) = \ frac {\ partial \ mu} {\ parcial v} (u, v) = u $$

Ahora $f(x)=\mu(a(x),b(x))$ y entonces $$f'(x)=\mu_1(a(x),b(x))a'(x)+\mu_2(a(x),b(x))b'(x)=b(x)a'(x)+a(x)b'(x)$ $

Esta es la regla de multiplicación que usa la regla de la cadena.

Answer 2

No puedes usar la regla de la cadena porque esto no es una composición. Sólo llamarlo uno no lo hace uno. Por ejemplo, supongamos que $a(x)=x+1$ y $b(x)=x^2$ . Luego su primera línea dice $$ f (x) = x ^ 2 (x +1) = x ^ 3 + x ^ 2 $$ así que $$ f (b (x)) = f (x ^ 2) = (x ^ 2) ^ 3 + (x ^ 2) ^ 2 $$ así que no es lo mismo que " $ab$ ".

Answer 3

Si $f(x)=a(x)x$ (parece que esto es lo que tienes en mente), entonces $f\bigl(b(x)\bigr)$ es igual a $a\bigl(b(x)\bigr)b(x)$ , en lugar de $a(x)b(x)$ .

Answer 4

También se re-interpretación, como por David Mitra el comentario de que usted está buscando algunos de función $g$ tal que $g(b(x)) = a(x)b(x)$ (donde $g$ es algo diferente de la $f(x) = a(x)b(x)$).

El problema aquí es que, a continuación, $a(x) = \frac {g(b(x))}{b(x)}$. I. e., el valor de $a(x)$ depende de la de $b(x)$. ¿Qué sucede cuando $b(x_1) = b(x_2)$ pero $a(x_1) \ne a(x_2)$? Por ejemplo, supongamos $b(x) = c$ para algunas constantes $c$, pero $a(x) = x$? Claramente ninguna de dichas $g$ puede existir.

Así que usted no puede convertir a cada producto en una composición de funciones de una sola variable. Sin embargo, como lhf ha señalado, la multiplicación de sí mismo es una función multivariante, y el producto de la regla es, en realidad, sólo la aplicación de la multivariante regla de la cadena.

Answer 5

Alternativamente, si conocemos la regla de la cadena y la derivada del logaritmo, así como el hecho de que $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ , obtenemos que \begin{align} \left(\log(f(x)g(x)\right) &= \left(\log(f(x))+\log(g(x))\right)'\\ &= \frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)} \end {align} Pero también tenemos eso \begin{align} \left(\log(f(x)g(x)\right) &= \frac{\left(f(x)g(x)\right)'}{f(x)g(x)} \end {align}