Evaluar la integral indefinida de la multiplicación de dos funciones

Question

Dejemos que $f,g:[a,+\infty]\to\mathbb{R}$ sea continua y $K>0$ s.t. $$ \left|\int_c^df(x)\,dx\right|\leq K \quad \forall c,d\in [a,\infty). $$ Si $g\in C^1$ es decreciente con $\displaystyle\lim_{x\to \infty}g(x)=0,$ demostrar que el límite $$\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx=\lim_{x\to\infty} \int_a^x f(t)g(t)\,dt$$ existe.

He intentado utilizar el criterio de Cauchy, es decir $\forall \epsilon>0, \exists A>a$ s.t. $A<c<d$ implica que $\left|\int_c^d f(t)g(t)\,dt\right|<\epsilon.$ Sin embargo, no pude llegar a ninguna parte.

Agradezco cualquier sugerencia.

P.D. Ya publiqué esta pregunta y como su expresión no era del todo correcta, la borré y la volví a plantear aquí.

Answer 1

Para $x \in [a,\infty)$ , defina $F(x) := \int^x_a f(t)\,dt$ . Entonces $\lvert F(x) \rvert \le K$ y $F'(x) = f(x)$ por el teorema fundamental del cálculo.

Ahora para $x,y \in[a,\infty)$ y wlog deja $y \ge x$ . Integrando por partes y utilizando la desigualdad del triángulo, vemos \begin {align*} \left\lvert \int ^y_a f(t) g(t) \N - \int ^x_a f(t)g(t)\N-, dt \right\rvert &= \left \lvert\int ^y_x f(t) g(t)\N, dt \right \rvert\\ &= \left \lvert \int ^y_x F'(t)g(t) \N-, dt \right \rvert\\ &= \left \lvert [F(t)g(t)]^{t=y}_{t=x} - \int ^y_x F(x)g'(x)\N-, dx \right \rvert\\ & \le \lvert F(y)g(y) \rvert + \lvert F(x)g(x) \rvert + \int ^y_x \lvert F(t)g'(t) \rvert \N - dt \\ & \le K \left ( \lvert g(y) \rvert + \lvert g(x) \rvert + \int ^y_x \lvert g'(t) \rvert \N - dt \right ). \end {align*} Desde $g$ es decreciente, tenemos $g'(t) \le 0$ y así $\lvert g'(t)\rvert = -g'(t).$ Así, \begin {align*} \left\lvert \int ^y_a f(t) g(t) \N - \int ^x_a f(t)g(t)\N-, dt \right\rvert & \le K \left ( \lvert g(y) \rvert + \lvert g(x) \rvert + \int ^y_x \lvert g'(t) \rvert \N - dt \right ) \\ &= K \left ( \lvert g(y) \rvert + \lvert g(x) \rvert - \int ^y_x g'(t) \N - dt \right ) \\ &= K( \lvert g(y) \rvert + \vert g(x) \rvert + g(x) - g(y)) \\ & \le 4K \text {max}( \lvert g(x) \rvert , \lvert g(y) \rvert ). \end {align*} Desde $\lvert g(t) \rvert \to 0$ como $t \to \infty$ para cualquier $\epsilon > 0$ , hay $M > 0$ , de tal manera que $\lvert g(t)\rvert < \epsilon/4K$ para todos $t > M$ . Pero entonces para $x,y > M$ Hemos demostrado que $$\left\lvert \int^y_a f(t) g(t)\, dt - \int^x_a f(t)g(t)\,dt\right\rvert < \epsilon.$$ Por último, tome cualquier secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ con $x_n \to \infty$ y esto demuestra que $$\left\{\int^{x_n}_a f(t)g(t)\,dt \right\}_{n=1}^\infty$$ es una secuencia de Cauchy y por lo tanto converge. Por el teorema del criterio secuencial, concluimos que $$\lim_{x\to\infty} \int^x_a f(t) g(t) \,dt$$ converge.

Como nota aparte, esto es completamente análogo a la Prueba de Dirichlet para series infinitas, que es una generalización de la prueba de series alternas.

Answer 2

Dado que se da que $g$ es continuamente diferenciable, por lo que $g'$ existe. Ahora se trata de escribir $\displaystyle\int fg$ como $\displaystyle g\int f-\int \left(g'\int f\right)$ .

Ahora usando la desigualdad del triángulo, $$\left|\int fg\right|\leq\left| g\int f\right|+\left|\int \left(g'\int f\right)\right|,$$ ahora creo que puedes completarlo, pero no olvides usar el hecho de que $\displaystyle\lim_{x\to{\infty}} g'(x)=0.$