Este problema surgió cuando estudiaba la continuación analítica de la $\Gamma$ función.
Considere
$$f(z) = \int_{0}^1 e^{-t}t^{z-1} dt$$
Esta integral converge sólo para $\Re(z)>0$ . Sin embargo, si ampliamos $e^{-t}$ en series de potencias e intercambiar la suma y la integración, obtenemos que
$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)}$$
que converge para cada $z \not = -n$ . Esto significa, por supuesto, que el intercambio de suma e integración no estaba justificado. Sin embargo, he intentado buscar una justificación de todos modos, y no puedo encontrar el error. ¿Puedes ayudarme a encontrarlo, por favor?
Justificación
Utilizaremos el Weierstrass $M$ -prueba. En primer lugar, si sustituimos $e^{-t}$ por una potencia seires y simplificar, obtenemos
$$f(z) = \int_0^1 \left[\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} \right]dt$$
Ahora demostraremos que para $0< \delta < 1$ la serie converge uniformemente en $[\delta, 1]$ . Tenemos
$$\left|\dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} \right| = \dfrac {1}{n!}t^{\Re(z)+n-1}$$
Para $n$ suficientemente grande (mayor que algunos $N$ ), tenemos $\Re(z)+n-1 > 0$ y como resultado,
$$\dfrac {1}{n!}t^{\Re(z)+n-1} < \dfrac {1}{n!} = M_n, \text{ and } \sum_{n=N}^{\infty} M_n \text{converges}$$
Por lo tanto, $$\sum_{n=N}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1}$$
converge uniformemente en $[\delta, 1]$ y como resultado,
$$\sum_{n=0}^{N-1} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} + \sum_{n=N}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} $$
converge uniformemente en $[\delta, 1].$ Por lo tanto,
$$\int_{\delta}^1 \left[\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} \right]dt = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \int_{\delta}^1 \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} dt \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)}- \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)} \delta^{n+z} \right]$$
$$= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)} - \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)} \delta^{n+z}$$
Ahora mirando la suma de la derecha en función de $\delta$ podemos argumentar que la serie converge uniformemente dividiendo la serie como hicimos anteriormente. Así, si tomamos el límite como $\delta \to 0$ esa suma desaparece y obtenemos que
$$\int_{0}^1 \left[\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!}t^{n+z-1} \right]dt = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {(-1)^n}{n!(n+z)} $$ , según se desee.
