Si un conjunto de fórmulas es consistente, existe un modelo en el que todas las fórmulas son verdaderas. Esto sólo ocurre si el conjunto es satisfacible. Pero la satisfabilidad es el hecho de que puede ser verdadera, así que ¿cuál es la diferencia entre las 2 nociones?
La coherencia es una propiedad sintáctica. Significa que no hay prueba de contradicción a partir de sus axiomas.
La satisfacción es una propiedad semántica. Significa que existe un modelo de los axiomas.
En lógica de primer orden (así como en lógica proposicional) las dos nociones son equivalentes porque la lógica es sólida y completa. Es decir, una teoría satisfactoria es consistente y una teoría consistente es satisfactoria.
Otras lógicas, sin embargo, no tienen la suerte de poseer ambas propiedades y las dos nociones se separan. De hecho, si no asumimos el axioma de elección, entonces es consistente que exista una teoría que sea consistente pero no satisfactible.
En cuanto al último punto, siempre me ha parecido que estos problemas se deben a que se permiten teorías incontables. ¿Qué opina usted al respecto?
Pues es verdad. Si el lenguaje es contable, entonces la elección no es necesaria. Pero entonces usted puede argumentar que esto requiere $\sf WKL_0$ sobre teorías más débiles, que también se consideran "razonables". Así que no es sólo incontabilidad.
No encuentro un problema similar con WKL porque en cierto sentido la noción de que cada oración aritmética tiene un valor de verdad booleano ya presupone que las propiedades aritméticas están bien definidas, y por tanto ACA0 está bien justificada una vez que asumimos que PA tiene sentido. Lo que me parece extraño es que cuando permitimos (en ZFC) que una teoría tenga un lenguaje incontable, perdemos el control sobre la teoría si carecemos de un buen ordenamiento de la misma, y a priori no está claro que el axioma de elección tenga sentido si tenemos conjuntos de potencias completos, y sin embargo es razonable si el universo pretendido es contable...
Coherencia se define sintácticamente :
un conjunto $\Gamma$ de fórmulas es inconsistente si podemos derivar (en el sistema de prueba) una contradicción a partir de ella : $\Gamma \vdash \bot$ .
De este modo, demostramos que :
un conjunto $\Gamma$ es coherente si es satisfactoria .
Véase también el post : Relación entre coherencia, exhaustividad y solidez .
"satisfiable": Un enunciado lógico de orden 1 es satisfacible si no se puede simplificar a Falso sin saber nada de los predicados que contiene. También un enunciado lógico de orden 1 es satisfacible si la fórmula lógica de orden 2, que se obtiene sustituyendo todos los predicados que contiene por variables ficticias de cuantificadores existenciales, que se colocan alrededor del enunciado lógico de orden 1, no es falsa. Obsérvese que, como esta fórmula lógica de orden 2 no contiene predicados, sólo puede ser Verdadera o Falsa.
"consistente": Un enunciado lógico de orden 1 es consistente si no puede simplificarse a Falso incluso utilizando "información externa" sobre los predicados que contiene.
Aquí https://www.physicsforums.com/threads/about-the-undecidability-of-first-order-logic.1015918/post-6641082 es una explicación más exhaustiva al respecto con ejemplos.
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