Resultados incorrectos de estabilidad al utilizar la aproximación de Padé

Question

La aproximación de Padé de la función exponencial, $F(s) = e^{-\tau s}$, se utiliza a menudo en la teoría de control. Me pregunto si su uso puede conducir a resultados erróneos con respecto a la estabilidad de las propiedades del sistema de circuito cerrado.

Supongamos que tenemos un sistema dinámico con la función de transferencia

$$ G(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}e^{-\tau s}, $$

con $\tau>0$, donde $P$ e $Q$ son polinomios y el grado de $P$ es estrictamente menor que el grado de $Q$. El correspondiente circuito cerrado de la función de transferencia se define como

$$ G_{CL}(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}. $$

Si nos aproximado de $e^{-\tau s}$ con la aproximación de Padé de orden $[1,1]$ obtenemos

$$ G_{\mathrm{aprox}}(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}\frac{1-\frac{\tau}{2}s}{1+\frac{\tau}{2}}. $$

A continuación, $G_{CL, \mathrm{approx}} = \frac{G_{\mathrm{approx}}(s)}{1+G_{\mathrm{approx}}(s)}$ se convierte en una función racional y podemos usar una expresión algebraica criterio para decir si es estable. Sin embargo, creo que esto no implica que $G_{CL}$ es estable, pero no he sido capaz de encontrar un contraejemplo.

Traté de tomar $G$ a ser un primero y un sistema de segundo orden y trató con los valores altos y bajos de $\tau$, pero yo no era capaz de llegar con un contraejemplo donde el criterio de Routh en $G_{CL, \mathrm{approx}}$ y el Bode o criterio de estabilidad de Nyquist para la transferencia real de la función de llevar a diferentes conclusiones respecto a la estabilidad del sistema de circuito cerrado.

Answer 1

Por lo general, ambos de la demora y la mitad derecha del plano cero restringir qué tan alto puede colocar el ancho de banda de lazo cerrado. Sin embargo, una demora realmente poner un duro límite superior del ancho de banda debido a la caída de fase aumenta linealmente en frecuencia (que se ve exponencialmente cuando la frecuencia en escala logarítmica). Para la mitad derecha del plano cero todavía es posible conseguir un alto arbitrario de ancho de banda, debido a que la fase de baja a más de 90 grados, sin embargo un alto ancho de banda darán peor y peor, márgenes, por ejemplo, ver mi respuesta aquí. De esto también es posible construir un ejemplo donde el sistema con la aproximación de Padé es estable en lazo cerrado, pero con un retraso de tiempo no es, a saber,

$$ G(s) = \frac{100\,s + 90}{s^2 + 110\,s}e^{-2\,s}, \etiqueta{1} $$

así

$$ G_\mathrm{aprox}(s) = \frac{100\,s + 90}{s^2 + 110\,s}\frac{1 - s}{1 + s}. \etiqueta{2} $$

El correspondiente diagrama de Nyquist se puede ver a continuación, a partir de lo cual se puede concluir que $(2)$ sería de lazo cerrado estable, sino $(1)$ no lo haría.

Sin embargo, me gustaría estado sólo debe ser el caso cuando usted elija un ancho de banda de alta en comparación con $1/\tau$. Porque en mi ejemplo, $1/\tau=0.5$ , mientras que el ancho de banda se encuentra cerca de 2 rad/s. I definir el ancho de banda de la frecuencia donde el lazo abierto cruza el 0 dB línea por primera vez, esta definición es también llamado a veces la frecuencia de cruce. Normalmente uno ya diseñar un controlador que no iba a tener un gran ancho de banda en comparación a $1/\tau$ , si uno quiere tener razonable de fase y de ganancia de los márgenes, incluso cuando el uso de la aproximación de Padé de la demora en este proceso de diseño. Por ejemplo, agregar una ganancia de 0.848 daría $G_\mathrm{approx}(s)$ un margen de fase de 45 grados (sin embargo, el margen de ganancia es todavía sólo 2.27 dB). Con este aumento de $G(s)$ es estable, sin embargo sus márgenes de un todavía un poco diferente, es decir, una fase margen de 15 grados y una ganancia margen de 0.455 dB. Se puede observar que el ancho de banda es todavía 1.1 rad/s, pero incluso si usted no tiene un relativamente alto ancho de banda que aún le recomendamos comprobar si es o no los requisitos para que los márgenes se han cumplido, mientras que el uso de la demora en lugar de la aproximación de Padé.

Otra manera de mirar esto es teniendo en cuenta el margen de fase del sistema sin demora y mira el cambio de fase inducida por el retraso real y la aproximación de Padé. El margen de fase del sistema se denota con a$\phi$ a una frecuencia de crossover $\omega_c$. El cambio de fase en $\omega_c$ real de la demora puede ser demostrado ser $\tau\,\omega_c$, por lo que el retardo máximo que el sistema puede manejar realmente se puede calcular con

$$ \tau_\mathrm{max} = \frac{\phi}{\omega_c}. \etiqueta{3} $$

El cambio de fase en $\omega_c$ de $[1,1]$ Padé aproximación puede ser demostrado ser $2\tan^{-1}\left(\tau\,\omega_c/2\right)$, por lo que la predicción de la demora máxima aproximación que puede manejar el sistema puede ser calculada con

$$ \tau_\mathrm{max,aprox} = \frac{2\tan\left(\frac{\phi}{2}\right)}{\omega_c}. \etiqueta{4} $$

La serie de Taylor de $2\tan\left(\frac{\phi}{2}\right)$ es

$$ 2\tan\left(\frac{\phi}{2}\right) = \phi + \frac{\phi^3}{12} + \frac{\phi^5}{120} + \mathcal{S}(\phi^7), \etiqueta{5} $$

así que cuando se comparan $(4)$ a $(3)$ se puede observar que el mayor $\phi$ el peor de la predicción máximo de retraso de acuerdo a las $[1,1]$ aproximación de Padé es, ya que la serie de Taylor muestra que siempre encima de las estimaciones de la demora que puede manejar (sólo que esta encima de la estimación se pone muy pequeño cuando se $\phi$ es pequeña).

A partir de esto uno puede pensar en un ejemplo aún más fácil

$$ G(s) = \frac{1}{s} e^{-\tau\,s}. \etiqueta{6} $$

Este sistema tiene un margen de fase de $\phi=\pi/2$ radianes y una frecuencia de cruce de $\omega_c=1$ rad/s. Así que de acuerdo a $(3)$ este sistema puede manejar en la mayoría de las $\pi/2\approx1.5708$ segundos de retraso, mientras que de acuerdo a $(4)$ la $[1,1]$ aproximación de Padé aún sería decir que el sistema es estable hasta una demora de $2$ segundos.

Si uno utiliza la $[2,2]$ aproximación de Padé lugar se puede demostrar que similar a $(4)$ uno se

$$ \tau_\mathrm{max,aprox[2,2]} = \frac{\sqrt{9+12\tan^2\left(\frac{\phi}{2}\right)} - 3}{\tan\left(\frac{\phi}{2}\right)\omega_c}, \etiqueta{7} $$

con

$$ \frac{\sqrt{9+12\tan^2\left(\frac{\phi}{2}\right)} - 3}{\tan\left(\frac{\phi}{2}\right)} = \phi + \frac{\phi^5}{720} - \frac{\phi^7}{12096} + \mathcal{S}(\phi^9), \etiqueta{8} $$

así que cuando se comparan $(5)$ con $(8)$ se puede ver que $(8)$ debe permanecer cerca de $\phi$ para un amplio rango de valores de $\phi$. Cuando de nuevo teniendo en cuenta $(6)$ la $[2,2]$ aproximación de Padé predice un plazo máximo de $1.5826$ segundos, que es mucho más cercano al valor real de $1.5708$ segundos en comparación con los anteriores predicción de $2$ segundos. Sin embargo, a menudo, uno normalmente tiene un menor margen de fase (de los de lazo abierto sin demora) por lo que el $[1,1]$ Padé aproximación puede ser suficiente en muchos casos. En la mayoría de los otros casos, el $[2,2]$ aproximación de Padé es probablemente suficiente. Usted necesita mirar hacia fuera si el bucle abierto cruza el 0 dB línea de nuevo por encima de la frecuencia de cruce. En ese caso, usted podría también utilizar todos los cruces para calcular el margen de fase y las frecuencias de cruce y el enchufe de esos valores en $(3)$ encontrar el más pequeño retardo máximo que el sistema puede manejar.

Answer 2

Usted puede encontrar un contraejemplo mediante el uso de un BIBO estable en lazo abierto del sistema con polos cerca del eje imaginario y un intermedio valor de $\tau$ (ni demasiado baja ni demasiado alta). He aquí un ejemplo:

$$ G(s) = \frac{2}{(s+0.5)^2 + 1}e^{-0.6 s}. $$

The closed-loop function $G_c(s) = G(s)/(1+G(s))$ es aproximada por $$ \tilde{G}_{c} = -\frac{80-24s}{12s^3 + 52s^2 + 31 + 130}. $$

Its poles are $-0.0085 \j1 pm.5842$ and $-4.3163$ (I determined these using MATLAB), so the approximate closed-loop system is BIBO stable (you can use an algebraic criterion to verify this), but the Nyquist plot of the actual open-loop transfer function is

Indeed, for $\tau > 0.5758$, the closed-loop system becomes BIBO unstable, but it is not until $\tau>0.6189$ that you will be able to detect this using a $[1,1]$-order Padé approximation.

Here is some MATLAB code to determine these values:

xt = 0;
for td = 0.5:0.0001:0.65,
   G = tf(2, [1 1 1.25]);
   H = G*tf(1,1,'InputDelay', td);
   Hpade =  G*tf([-0.5*td 1], [0.5*td 1]);
   T = feedback(Hpade, 1);

   Gm = margin(H);
   x = (abs(isstable(T)- (Gm > 1)));
   if x~=xt,
      disp(td);
   end
   xt = x;
end

Some notes:

1. The Padé approximation of order $[1,1]$ no es demasiado bueno. El uso de un orden superior al de la aproximación (pero no demasiado alto, ya que esto provocaría problemas numéricos)
2. El mejor de mi conocimiento, no se puede utilizar la aproximación de Padé para garantizar que el sistema es estable (al menos no sin requisitos adicionales)
3. No utilice Padé aproximaciones si quieres estudiar la estabilidad de las propiedades de su sistema. Utilizar el criterio de Bode (si es aplicable) o el criterio de Nyquist (recomendado).