Resulta que he probado esta suma mientras intentaba probar otra suma. Sea $$S_n=\sum_{k=0}^{2n} {2k \choose k } {2n \choose k}\left( \frac{-1}{2} \right)^k$$ ${2k \choose k} $ es el coeficiente de $x^0$ en $(x+1/x)^{2k}$ . En consecuencia, $S_n$ es el coeficiente de $x^0$ en $$f(x)= \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k}~\left (x+\frac{1}{x}\right)^{2k}~\left ( \frac{-1}{2}\right)^{k}=\left(1-\left(\frac{x+1/x}{\sqrt{2}}\right)^2 \right)^{2n} = 4^{-n} ~ \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^{2n}.$$ Por último, el coeficiente de $x^0$ en $f(x)$ es $$4^{-n}~{2n \choose n}=S_n.$$ Espero que te resulte interesante y lo pruebes de alguna otra manera. Inténtalo.
Respuestas
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Utilizamos el coeficiente de operador $[z^n]$ para denotar el coeficiente de $z^n$ de una serie. Recordando la función generadora de la _coeficientes binomiales centrales_ podemos escribir \begin{align*} [z^n]\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\binom{2n}{n}\tag{1} \end{align*}
Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^{2n}}&\color{blue}{\binom{2n}{k}\binom{2k}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k}\\ &=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}[z^k]\frac{1}{\sqrt{1+2z}}\tag{2}\\ &=[z^0]\frac{1}{\sqrt{1+2z}}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}z^{-k}\tag{3}\\ &=[z^0]\frac{1}{\sqrt{1+2z}}\left(1+\frac{1}{z}\right)^{2n}\tag{4}\\ &=[z^{-1}]\frac{(1+z)^{2n}}{z^{2n+1}\sqrt{1+2z}}\tag{5}\\ &=[t^{-1}]\frac{\left(1+\frac{t}{1-t}\right)^{2n}}{\left(\frac{t}{1-t}\right)^{2n+1}\sqrt{1+\frac{2t}{1-t}}}\cdot\frac{1}{(1-t)^2}\tag{6}\\ &=[t^{2n}]\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\tag{7}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}}\tag{8} \end{align*}
Comentario:
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En (2) aplicamos el coeficiente de según (1).
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En (3) utilizamos la regla $[z^{p-q}]A(z)=[z^p]z^qA(z)$ .
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En (4) aplicamos el teorema del binomio.
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En (5) escribimos la expresión utilizando el residuo formal aplicando de nuevo la regla del comentario (3).
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En (6) utilizamos la sustitución $z=\frac{t}{1-t}, dz=\frac{1}{(1-t)^2}dt$ .
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En (7) hacemos algunas simplificaciones.
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En (8) seleccionamos el coeficiente de $t^{2n}$ tomando (1) evaluado en $z=\frac{1}{4}t^2$ .
Anthony Shaw
Puntos
858
Utilizaremos $$ \frac1{1-x}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k=\sum_{n=0}^\infty\binom{n}{k}x^n\tag1 $$ y $$ (1-4x)^{-1/2}=\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}x^k\tag2 $$ Extracción de la parte par de $(1)$ $$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{k}x^{2n} =\frac12\left[\frac1{1-x}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k+\frac1{1+x}\left(-\frac{x}{1+x}\right)^k\right]\tag3 \end{align} $$ Calcula la función generadora de la suma que queremos $$ \begin{align} &\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\binom{2n}{k}\left(-\frac12\right)^kx^{2n}\tag4\\ &=\frac1{2-2x}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\left(-\frac{x}{2-2x}\right)^k +\frac1{2+2x}\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\left(\frac{x}{2+2x}\right)^k\tag5\\ &=\frac1{2-2x}\left(1+\frac{4x}{2-2x}\right)^{-1/2} +\frac1{2+2x}\left(1-\frac{4x}{2+2x}\right)^{-1/2}\tag6\\ &=\frac1{2-2x}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{1/2} +\frac1{2+2x}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1/2}\tag7\\[6pt] &=\left(1-x^2\right)^{-1/2}\tag8\\[6pt] &=\sum_{n=0}^\infty\frac1{4^n}\binom{2n}{n}x^{2n}\tag9 \end{align} $$ Explicación:
$(4)$ : calcular la función generadora
$(5)$ : aplicar $(3)$
$(6)$ : aplicar $(2)$
$(7)$ : simplificar
$(8)$ : simplificar
$(9)$ : aplicar $(2)$
Igualar los coeficientes de $x^{2n}$ da $$ \sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}\binom{2n}{k}\left(-\frac12\right)^k =\frac1{4^n}\binom{2n}{n}\tag{10} $$
thewitness
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113
$2kCk=$ coeficiente de $x^k$ en $(1+x)^{2k}$ = término constante en $(\frac{(1+x)^2}{x}^){k}=(x+1/x+2)^k$ .
Así que el término constante en $$\sum_{k=0}^{2n} (x+1/x+2)^k {2n \choose k}\left( \frac{-1}{2} \right)^k$$ .
$k \rightarrow 2n-k$ y $2nCk=2nC{2n-k}$ (básicamente escribir la secuencia en orden inverso)
$\implies$ Término constante en
$$\sum_{k=0}^{2n} (x+1/x+2)^{2n-k} {2n \choose k}\left( \frac{-1}{2} \right)^{2n-k}$$
$\implies$ Término constante en
$$4^{-n} \sum_{k=0}^{2n} (x+1/x+2)^{2n-k} {2n \choose k}(-2)^{k}$$
Por expansión binomial es término constante en
$$4^{-n} (x+1/x+2-2)^{2n}= 4^{-n}(x+1/x)^{2n} = 4^{-n} \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}{n \choose n-r} = 4^{-n} {2n \choose n}$$ por la identificación de Vandermonde.
(el último resultado se desprende de la selección del término x, r veces (r=0,1,...n) en la expansión implica que necesitamos seleccionar al término 1/x, n-r veces para que el producto resultante se convierta en un término constante).
