Número de arreglos de cuatro bolas azules, tres verdes y dos rojas en las cuales no hay dos bolas azules adyacentes

Question

Encuentra el número de formas de organizar cuatro bolas azules, tres verdes y dos rojas, de modo que no haya dos bolas azules adyacentes.

He hecho esta pregunta y obtuve la respuesta que es$$\binom{6}{4} \cdot \frac{5!}{2!\cdot3!}=150$ $ usando el concepto de organizar$4$ bolas azules en los seis espacios vacantes entre las otras cinco bolas.

¿Cómo puede resolverse este problema excluyendo combinaciones que consisten en$4$ blue balls juntas,$3$ blue balls juntas o dos bolas azules juntas?

Answer 1

Hay $4 + 3 + 2 = 9$ posiciones para llenar. Llenamos cuatro de ellos con las bolas de color azul, tres de los cinco restantes posiciones con bolas verdes, y los dos restantes posiciones con bolas rojas. Por lo tanto, el número de posibles arreglos de las bolas es $$\binom{9}{4}\binom{5}{3}\binom{2}{2} = \frac{9!}{4!5!} \cdot \frac{5!}{3!2!} \cdot \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}$$ De estos, tenemos el deseo de excluir a los acuerdos con uno o más pares adyacentes de las bolas de color azul. Ya que sólo hay cuatro bolas de color azul, en la mayoría de los tres pares puede ser formado.

Un par de las bolas de color azul: Tenemos ocho objetos para organizar: $bb$, $b$, $b$, $g$, $g$, $g$, $r$, $r$. Elegimos tres de los ocho posiciones de las bolas verdes, dos de los cinco restantes posiciones de las bolas rojas, dos de los tres restantes posiciones de las bolas de color azul, y coloque el bloque de dos bolas de color azul en el resto de la posición. Por lo tanto, hay $$\binom{8}{3}\binom{5}{2}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = \frac{8!}{3!2!2!}$$ tales arreglos.

Si restamos el número de arreglos con un par de las bolas de color azul del total, le han restado mucho ya que se han restado los arreglos con dos pares adyacentes de las bolas de color azul dos veces, una para cada forma de designar a uno de esos pares, ya que el par de las bolas de color azul. Desde sólo queremos restar dichos acuerdos, una vez, se les debe agregar la espalda.

Dos pares adyacentes de las bolas de color azul: Esto puede ocurrir de dos maneras.

1. Hay dos disjuntos a pares adyacentes de las bolas de color azul.
2. Hay superposición de dos pares adyacentes de las bolas de color azul, lo que significa que hay tres bolas de color azul.

Dos disjuntos a pares adyacentes de las bolas de color azul: Tenemos siete objetos para organizar: $bb$, $bb$, $g$, $g$, $g$, $r$, $r$. Elegimos dos de las siete posiciones de los bloques de las bolas de color azul, tres de los cinco restantes posiciones de los bloques de bolas verdes, y luego rellenar el resto de las dos posiciones con las bolas rojas. Por lo tanto, hay $$\binom{7}{2}\binom{5}{3}\binom{2}{2} = \frac{7!}{2!3!2!}$$ tales arreglos.

Superposición de dos pares adyacentes de las bolas de color azul: Tenemos de nuevo siete objetos para organizar: $bbb$, $b$, $g$, $g$, $g$, $r$, $r$. Elegimos tres de las siete posiciones de las bolas verdes, dos de los cuatro restantes posiciones de las bolas rojas, y organizar el resto de los dos objetos distintos en los dos restantes posiciones. Por lo tanto, hay $$\binom{7}{3}\binom{4}{2}2! = \frac{7!}{3!4!} \cdot \frac{4!}{2!2!} \cdot 2! = \frac{7!}{3!2!}$$ tales arreglos.

Si restamos el número de arreglos que contiene un par de las bolas de color azul y agregar el número de arreglos que contiene dos pares adyacentes de las bolas de color azul, no habremos restado arreglos que contiene tres pares adyacentes de las bolas de color azul. Esto es debido a que le restan tres veces cuando restamos los acuerdos que contienen un par de las bolas de color azul, una vez para cada manera de que pudiéramos designar a uno de esos pares, ya que el par de las bolas de color azul, y sumar tres veces podemos añadir los arreglos que contiene dos pares adyacentes de las bolas de color azul, una vez para cada una de las $\binom{3}{2}$ maneras en que podemos designar a dos de los tres pares los pares adyacentes de las bolas de color azul. Por lo tanto, debemos restar el número de acuerdos con tres pares adyacentes de las bolas de color azul del total.

Tres pares adyacentes de las bolas de color azul: Esto significa que todos los cuatro bolas de color azul son consecutivos. Por lo tanto, tenemos seis objetos para organizar: $bbbb$, $g$, $g$, $g$, $r$, $r$. Elegimos tres de las seis posiciones de las bolas verdes, dos de los tres restantes posiciones de las bolas rojas, y llenar la posición final con el bloque de las bolas de color azul. Por lo tanto, hay $$\binom{6}{3}\binom{3}{2}\binom{1}{1} = \frac{6!}{3!2!}$$ tales arreglos.

Por la Inclusión-Exclusión Principio, el número de arreglos de cuatro azules, tres verdes y dos bolas rojas en la que no hay dos bolas azules son consecutivos es $$\frac{9!}{4!3!2!} - \frac{8!}{3!2!2!} + \frac{7!}{2!3!2!} + \frac{7!}{3!2!} - \frac{6!}{3!2!} = 150$$ lo cual está de acuerdo con su resultado.