Evaluar

Question

Evaluar:

PS

¿Alguien puede dar una pista para abordar este problema? Solo sé cómo hacer una sustitución e integración por partes para una variable. Mi dificultad hasta ahora es expresar el término$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 - (xy)^2}\, dx \, dy $ en el término de$ \dfrac{1}{1 - (xy)^2} $ tratando a$ x $ como una constante para que pueda usar la sustitución.

Answer 1

PS

Answer 2

La sección "Tres veces $\pi^2/6$" en Las pruebas DEL LIBRO por Aigner & Ziegler muestra cómo evaluar esta integral mediante el completamente no-obvio sustitución $$ x = \frac{\pecado u}{\cos v} ,\qquad y = \frac{\pecado v}{\cos u} , $$ que por arte de magia, se convierte la integral en $$ \iint_E dudv , $$ donde $E$ es el triángulo con esquinas en $(u,v)=(0,0)$, $(\pi/2,0)$ y $(0,\pi/2)$.

Este es un caso especial de la evaluación de las $\sum_{k\ge 0} (-1)^{nk} (2k+1)^{-n}$ en un papel por Beukers, Calabi y Kolk.

(Ver también esta pregunta.)

Answer 3

Una solución mucho menos elegante.

Considerar $$I=\int\frac{dx}{1 - (xy)^2} $$ and change variable $$xy=t\implies x=\frac ty\implies dx=\frac{dt}{y}$$ This make $$I=\frac 1y\int\frac{dt}{1 - t^2}= \frac {\tanh ^{-1}(t)}y=\frac {\tanh ^{-1}(xy)}y\implies \int_0^1\frac{dx}{1 - (xy)^2}=\frac {\tanh ^{-1}(y)}y$$ Now, using $$\tanh ^{-1}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac {y^{2n+1}}{2n+1}\implies \frac{\tanh ^{-1}(y)}y=\sum_{n=0}^\infty \frac {y^{2n}}{2n+1}$$ which makes $$J=\int \frac{\tanh ^{-1}(y)}y \,dy=\sum_{n=0}^\infty \frac {y^{2n+1}}{(2n+1)^2}$$ $PS