Demostrando que este conjunto es linealmente independiente.

Question

Ler $V=P(\Bbb R)$ ser el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales, en el campo de los números reales $\Bbb R$. Para $i \geq 1$, vamos a $T_i(f)=f^{(i)}$ $i$th derivado de la $f$. Tengo que demostrar que para cualquier $n \in \Bbb N$, $\{T_1, T_2,..., T_n\}$ es un subconjunto linealmente independiente de $L(V)$ (el conjunto de oprators de $V$.)

$\textbf{Attempt:}$ Supongamos que existen $c_1,...,c_n \in \Bbb R$ tal que $$c_1T_1 + \cdots c_n T_n = 0.$$ Entonces, para cualquier $f \in P(\Bbb R)$, tenemos $$(c_1T_1 + \cdots c_n T_n)(f)=c_1 T_1 (f) + \cdots c_n T_n (f) = 0.$$

Debemos mostrar ese $c_1 = c_2 = \cdots = c_n =0.$ Cualquier $f \in P(\Bbb R)$ es de la forma

$$f=a_m x^m + \cdots + a_1 x + a_0.$$

para algunos $m \in \Bbb N$. También, tenemos que

$$f^{(k)}=\sum_{i=k}^m \bigg( \prod_{j=0}^{k-1}(i-j) \bigg)a_i x^{i-k}.$$

Si $m \geq n$, $T_n(f)=f^{(n)}$ es una combinación lineal de $1, x, x^2, ..., x^{m-n}$, que es un conjunto linealmente independiente y, a continuación, sus coeficientes son cero. A continuación, sustituimos este coeficientes en $f^{(n-1)}$, que es una combinación lineal de $1, x, x^2, ..., x^{m-n}, x^{m-n+1}$ y obtenemos que el coeficiente de $x^{m-n+1}$ es cero. Continuamos con este proceso y obtenemos $c_1=c_2=\cdots =c_n = 0$.

Creo que esta prueba no es completa o, incluso, corregir, porque sólo he manejado el caso de $m \geq n$, y no sé qué hacer con el caso de $m<n$, y también se $m-n$ podría ser mayor que el $n$ y, a continuación, tendríamos que los coeficientes de $1, x, x^2, ..., x^{m-n}$ más de $n$ coeficientes, así que estoy muy confundido y no sé qué otra cosa podía hacer. Espero que pueda ayudar a dar una idea para resolver este problema. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que esto es más sencillo. Supongamos que$$\alpha_1T_1+\cdots+\alpha_nT_n=0$ $

Luego evalúa en$P(X)=X$. Como$P'=1$,$P''=0$, obtenemos ese$$\alpha_1=0$ $

Ahora evalúa en$P(X)=X^2$. Entonces $P''=2$; pero entonces...?

(¡Observe que tiene una prueba de que$P'''=0$ no puede ser de dimensión finita!)

Answer 2

Una prueba un poco más simple que las otras es evaluar$(c_1T_1+\cdots+c_nT_n)=0$ en$x^n$. Obtienes el polinomio$$c_1nx^{n-1}+c_2n(n-1)x^{n-2}+\cdots+c_nn!$ $ Ya que este es el polinomio cero, todos los coeficientes son cero en un solo paso.