No se trata en absoluto de una ecuación diferencial, ya que conecta datos de dos posiciones diferentes. Si se utiliza $g(x)=f(e^x)$ entonces $$ g'(x)=f'(x)e^x=e^{-2}f(e^x/e)^2e^x=e^{x-2}g(x-1)^2 $$ es una ecuación diferencial con retardo. Estas tienen en general una teoría de existencia difícil o inexistente y métodos numéricos igualmente incompletos.
En este caso especial, puede prescribir una solución casi libremente para $x\in[0,1]$ o $z\in[1,e]$ con la única restricción de que $g'(1)=e^{-1}g(0)^2$ . Todos los demás valores se derivan de la integración, $$ g(x)=g(1)+\int_1^x g'(s)\,ds=g(1)+\int_1^x e^{s-2}g(s-1)^2\,ds $$ sucesivamente para los intervalos $x\in[1,2]$ , $[2,3]$ ,
Hasta ahora, esto construirá una solución en $x\in[0,\infty)$ . Para mantener la opción de una solución en $x\in\Bbb R$ abierto, tome cualquier función infinitamente diferenciable y totalmente (en todas las derivadas) creciente $h(x)$ con $h(0)>0$ y $h'(1)>0$ y establecer $g(x)=a·h(x)$ con $a$ determinado por $h'(1)=a/e·h(0)^2$ . Se puede divertir aún más poniendo $g(x)=a·h(x)+b$ para que resulte una familia de un solo parámetro.
Ejemplo para la solución más sencilla: $g(x)=e·(1+x)$ en $[0,1]$ . Entonces para $x\in[1,2]$ $$ g(x)=2·e+\int_1^x e·(1+2s+s^2)\,ds = 2·e+\frac{e}3·(x-1)·(7+4·x+x^2) $$ En $[2,3]$ el título será $7$ etc.
