¿Puede cada poliedro ser inscrito en una esfera?

Question

Dada cualquier $n$ -Poliedro convexo dimensional en $ \Bbb R^n$ .

Pregunta: ¿Siempre es posible encontrar un poliedro combinatorio equivalente con vértices sólo en la esfera $S^{n-1} \subset\Bbb R^n$ es decir, una esfera equivalente inscrita en el poliedro?

También se puede preguntar de esta manera: ¿puedo construir (desde un punto de vista combinatorio) cualquier poliedro eligiendo algunos puntos de una esfera y tomando el casco convexo?

Quiero decir, esto es fácil de ver para los poliedros cuyas caras son todas simples, pero parece bastante difícil en general. No se pueden proyectar todos los vértices a la esfera porque los vértices "coplanares" podrían dejar de ser "coplanares" después, por lo tanto no pueden describir una cara equivalente.

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Extra:

• Si no en general, ¿es posible que $n=3$ ?
• ¿Se puede facilitar esto permitiendo que los vértices estén en cualquier esfera $S^m$ con $m \geq n-1$ .

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Actualizar:

Debería haber sido más preciso. La esfera inscrita en el poliedro también debería ser convexa. Además, es preferible que ninguna de las dos caras distintas del poliedro sea coplanaria, ya que de lo contrario pueden combinarse en una sola cara. En este sentido, el Triakis tetraedro es de hecho un contra-ejemplo de mi pregunta. Hay poliedros inscritos equivalentes a ella, pero no son convexos o tienen caras coplanares .

Answer 1

Esto no es posible en general, o incluso en particular cuando $n=3$ . Ver este documento de Ziegler para una referencia.

Supongo que esto es posible si permito que la esfera tenga una dimensión arbitraria (tal vez pueda tomar $S^n$ como la compactación de un punto de $\mathbb{R}^n$ y utilizar la proyección estereográfica para inscribir su $n$ -politopo en $S^n$ ).