Elemento de superficie en coordenadas esféricas

Question

En polares esféricos, $$x=r\cos(\phi)\sin(\theta)$$ $$y=r\sin(\phi)\sin(\theta)$$ $$z=r\cos(\theta)$$ Quiero calcular una integral sobre la superficie de una esfera - es decir $r$ constante. Soy capaz de derivar a través de factores de escala, es decir $\delta(s)^2=h_1^2\delta(\theta)^2+h_2^2\delta(\phi)^2$ (nota $\delta(r)=0$ ), que: $$h_1=r\sin(\theta),h_2=r$$ $$dA=h_1h_2=r^2\sin(\theta)$$

Sólo me pregunto si hay una manera "más fácil" de hacer esto (por ejemplo, el determinante jacobiano cuando estoy variando las 3 variables). Sé que supuestamente se puede visualizar un cambio de área en la superficie de la esfera, pero no soy particularmente bueno en hacer eso tristemente.

Answer 1

La imagen que buscas la he encontrado antes en los libros de texto de física (por ejemplo, en mecánica clásica). Buscando un poco en Google, he encontrado ésta para ti.

Alternativamente, podemos utilizar la primera forma fundamental para determinar el elemento de superficie. Recordemos que se trata del tensor métrico, cuyas componentes se obtienen tomando el producto interior de dos vectores tangentes en su espacio, es decir $g_{i j}= X_i \cdot X_j$ para los vectores tangentes $X_i, X_j$ . Hacemos la siguiente identificación para los componentes del tensor métrico, $$ (g_{i j}) = \left(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right), $$ para que $E = <X_u, X_u>, F=<X_u,X_v>,$ y $G=<X_v,X_v>.$

Podemos entonces hacer uso de La identidad de Lagrange que nos dice que el área cuadrada de un paralelogramo en el espacio es igual a la suma de los cuadrados de sus proyecciones sobre el plano cartesiano: $$|X_u \times X_v|^2 = |X_u|^2 |X_v|^2 - (X_u \cdot X_v)^2.$$
Aquí hay una imagen en el caso de la esfera:

Esto significa que nuestro elemento de área viene dado por $$ dA = | X_u \times X_v | du dv = \sqrt{|X_u|^2 |X_v|^2 - (X_u \cdot X_v)^2} du dv = \sqrt{EG - F^2} du dv. $$

Terminemos con el ejemplo de la esfera. Encontraremos nuestros vectores tangentes a través de la parametrización habitual que diste, a saber, $X(\phi,\theta) = (r \cos(\phi)\sin(\theta),r \sin(\phi)\sin(\theta),r \cos(\theta)),$ para que nuestros vectores tangentes sean simplemente $$ X_{\phi} = (-r\sin(\phi)\sin(\theta),r\cos(\phi)\sin(\theta),0), \\ X_{\theta} = (r\cos(\phi)\cos(\theta),r\sin(\phi)\cos(\theta),-r\sin(\theta)) $$ Calculando los elementos de la primera forma fundamental, encontramos que $$ E = r^2 \sin^2(\theta), \hspace{3mm} F=0, \hspace{3mm} G= r^2. $$ Así, tenemos $$ dA = \sqrt{r^4 \sin^2(\theta)}d\theta d\phi = r^2\sin(\theta) d\theta d\phi $$

Answer 2

Cuando se tiene una representación paramétrica de una superficie $$S:\quad (u,v)\ \mapsto\ {\bf x}(u,v)$$ entonces un rectángulo infinitesimal $[u, u+du]\times [v,v+dv]$ en el plano de los parámetros se mapea en un paralelogramo infinitesimal $dP$ que tiene un vértice en ${\bf x}(u,v)$ y que está atravesado por los dos vectores ${\bf x}_u(u,v)\, du$ y ${\bf x}_v(u,v)\,dv$ . El área de este paralelogramo es $${\rm d}\omega:=|{\bf x}_u(u,v)\times{\bf x}_v(u,v)|\ {\rm d}(u,v)\ .$$ Si se le da una "densidad de superficie" ${\bf x}\mapsto \rho({\bf x})$ $\ ({\bf x}\in S)$ entonces la integral $I(S)$ de esta densidad sobre $S$ viene dada por $$I(S)=\int_B \rho\bigl({\bf x}(u,v)\bigr)\ {\rm d}\omega = \int_B \rho\bigl({\bf x}(u,v)\bigr)\ |{\bf x}_u(u,v)\times{\bf x}_v(u,v)|\ {\rm d}(u,v)\ ,$$ donde $B$ es el dominio de parámetros correspondiente a la pieza exacta $S$ de la superficie.

Esta es la configuración general. Cuando tu superficie es un trozo de esfera de radio $r$ entonces se aplica la representación paramétrica que has dado, y si sólo quieres calcular el área euclidiana de $S$ entonces $\rho({\bf x})\equiv1$ .

Por lo tanto, en tu situación queda calcular el producto vectorial ${\bf x}_\phi\times {\bf x}_\theta$ en función de $\phi$ y $\theta$ , es decir, el valor absoluto de este producto, y luego hay que integrar sobre el dominio del parámetro deseado $B$ .

Usted ha pedido explícitamente una explicación en términos de "jacobianos". El producto vectorial $\times$ es el sustituto apropiado en las circunstancias actuales, pero en el caso simple de una esfera es bastante obvio que ${\rm d}\omega=r^2\sin\theta\,{\rm d}(\theta,\phi)$ .

Answer 3

Hay otra forma de verlo utilizando la noción de ángulo sólido . Entonces el elemento de área tiene una forma particularmente simple: $$dA=r^2d\Omega$$

Answer 4

Debido al sorprendente hecho de que

(a) El área de [un corte de la superficie esférica entre dos planos paralelos (dentro de los polos)] es proporcional a su anchura.

. . aquí hay una forma rara (si es que alguna vez se menciona) de integrar sobre una superficie esférica. Suponemos que el radio = 1.

(b) Obsérvese que cada punto de la esfera está determinado unívocamente por su coordenada z y su ángulo phi en sentido contrario a las agujas del reloj, $0 \leq\phi\leq 2\pi$ de un semiplano y = 0, x >= 0.

De (a) y (b) se deduce que un elemento de área en la esfera unitaria centrada en el origen en el espacio 3 es simplemente dphi dz.

Entonces la integral de una función f(phi,z) sobre la superficie esférica es simplemente $$\int_{-1 \leq z \leq 1, 0 \leq \phi \leq 2\pi} f(\phi,z) d\phi dz$$ .

Answer 5

Las respuestas anteriores son demasiado formales, en mi opinión. La forma directa de hacerlo es simplemente el jacobiano. El jacobiano es el determinante de la matriz de primeras derivadas parciales. La primera fila es $\partial r/\partial x$ , $\partial r/\partial y$ etc., el segundo lo mismo pero con $r$ sustituido por $\theta$ y luego la tercera fila sustituida por $\phi$ . Por lo tanto, para calcular cada parcial se mantienen constantes las otras variables y sólo se diferencia con respecto a la variable del denominador, por ejemplo $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

así que $\partial r/\partial x = x/r $ . A continuación, sólo hay que tomar el determinante de esta matriz de 3 por 3, lo que puede hacerse, por ejemplo, mediante una expansión cofactorial.