Calcule la densidad de probabilidad discreta de$Z=XY$

Question

$X$ y$Y$ son variables aleatorias independientes.

$X$: Poisson con 1 como parámetro
$Y$: Bernoulli con$\frac{1}{2}$ como parámetro


Calcule la densidad de probabilidad discreta de$Z=XY$
$$ P (Z = 0) = P (\ {X = 0 \} \ cup \ {Y = 0 \}) = \\ = P (X = 0) + P (Y = 0) -P (X = 0, Y = 0) = \ frac {1} {e} + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {2e} = \ frac {e +1} {2e} \\ \\ \ forall n \ in \ mathbb {N ^ *}, P (Z = n) = P (X = n, Y = 1) = \ frac {1} {2 \ e \ n!} $$

¿Es correcto?

Answer 1

Aquí hay una confirmación por simulación de un millón de realizaciones de$Z$.

 m = 10^6
x =  rpois(m, 1);  y = rbinom(m, 1, 1/2)
z = x*y
 

El siguiente histograma se basa en los valores simulados. Los puntos en la parte superior de las barras de histograma se basan en su cálculo correcto del PDF. Cuando la simulación es así de fácil, puede proporcionar una comprobación rápida de la precisión de un resultado analítico.