¿Cómo uso la inducción fuerte (el segundo principio de la inducción finita) para probar$a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2}+ \cdots + a + 1)$ ???

Question

PS

No tengo idea de cómo usar la "inducción fuerte" para demostrar esto, he usado un ejemplo como$$a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2}+ \cdots + a + 1)$, ¡pero asumo que no es lo que la respuesta está buscando de ninguna manera! ¡Ayuda! Es evidente que cuando se usa$a^{3}-1$ que funciona, pero cómo se puede probar matemáticamente usando este método. Siento que tiene algo que ver con probarlo para$a^{n-1} -1$ porque la ecuación es que todo$n < 1$ es mayor o igual que 1.

Answer 1

Caso base: $n=1$. En este caso, el LHS es$a^{1}-1=a-1$ y el RHS es$1$, por lo que el resultado se mantiene.

Paso inductivo: repare$n\geq 2$ y suponga que el resultado se mantiene para todos los$k<n$. Queremos mostrar que el resultado se mantiene para$n$. Si$a=1$, tanto el LHS como el RHS son$0$, entonces el resultado sigue. Si$a\not=1$, podemos dividir ambos lados por$a-1$. Por lo tanto, solo necesitamos probar que $$ \ frac {a ^ {n} -1} {a-1} = a ^ {n-1} + a ^ {n-2} + \ cdots a +1. $$ Pero esto sigue ya que $$ \begin{aligned} a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots a+1&=a^{n-1}+(a^{n-2}+\cdots +a+1)\\[5pt] &=a^{n-1}+\frac{a^{n-1}-1}{a-1} &&\quad\text{by the inductive hypothesis}\\[5pt] &=\frac{a^{n-1}(a-1)+a^{n-1}-1}{a-1}\\[5pt] &=\frac{a^{n}-a^{n-1}+a^{n-1}-1}{a-1}\\[5pt] &=\frac{a^{n}-1}{a-1}. \end {alineado} $$