isomorfismo entre toro

Question

Estoy trabajando en Conferencias Sobre las Superficies de Riemann por Forster. Estoy teniendo problemas para averiguar la siguiente pregunta.

1.5

a) Deje $\Gamma,\Gamma'\subset\mathbb{C}$ dos celosías. Supongamos $\alpha\in\mathbb{C}^*$ tal que $\alpha\Gamma\subset\Gamma'$. Muestran que el mapa $\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, $z\mapsto\alpha z$ induce un holomorphic mapa de $\mathbb{C}/\Gamma\rightarrow\mathbb{C}/\Gamma'$, que es biholomorphic si y sólo si $\alpha\Gamma=\Gamma'$.

b) Muestran que todos los torus $X=\mathbb{C}/\Gamma$ es isomorfo a un toro de la forma $X(\tau):=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ donde $\tau\in\mathbb{C}$ satifies $\Im(\tau)>0$.

c) Suponga que $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\$$\in SL(2,\mathbb{C})$ y $\Im(\tau)>0$. Deje $\tau':=\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$. Muestran que el tori $X(\tau)$ $X(\tau')$ son isomorfos.

La única parte en la que he averiguado es b). He utilizado la parte a) y el conjunto de $\alpha$ a ser algunos de rotación y de la dilatación de manipular la base de la $\Gamma$.

Por desgracia, no tengo idea de para a) y c).

Answer 1

a) Definir el mapa de $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$z\mapsto\alpha z$. Así, podemos componer este con la proyección de $\mathbb{C}\to\mathbb{C}/\Gamma'$ para obtener un mapa de $\mathbb{C}\to\mathbb{C}/\Gamma'$. Entonces, este mapa será un factor a través del cociente $\mathbb{C}/\Gamma$ si y sólo si $\Gamma$ está en el núcleo de este mapa. Pero, esto es equivalente a $\alpha\Gamma\subseteq\Gamma'$. Ahora, dado que este es un holomorphic mapa de compacto de las superficies de Riemann es automáticamente surjective (aunque esto era evidente por inspección). Así que, a continuación, sólo se preocupan de inyectividad. Pero, el factor mapa de $\mathbb{C}/\Gamma\to\mathbb{C}\Gamma'$ es inyectiva si y sólo si

$$\ker(\mathbb{C}\to\mathbb{C}/\Gamma')=\Gamma$$

Bien, ya sabemos que el $\alpha\Gamma\subseteq\Gamma'$. Y, si asumimos que $\Gamma\supseteq\ker(\mathbb{C}\to\mathbb{C}/\Gamma')=\frac{1}{\alpha}\Gamma'$ obtenemos la otra inclusión.

b) usted dijo que Usted lo hizo.

c) Que, finalmente, muestran que la única mapas de $X(\tau)\to X(\tau')$ son aquellos construidos en una), así que usted sabe que este isomorfismo tendrá que ser de esa forma. Así, supongamos que'f encontrado $\alpha$ tal que $\alpha(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau'$. Esto significa que $\alpha,\alpha\tau$ necesidad de generar $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau'$. Así, por $\alpha,\alpha\tau\in\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau'$ no necesita existir $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ tal que $\alpha=c+d\tau'$$\alpha\tau=a+b\tau'$. Así, al dividir usted obtener

$$\tau=\frac{a+b\tau'}{c+d\tau'}$$

pero, para que esto generará $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ usted necesita la matriz de cambio de base $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ a mentir en $\text{GL}_2(\mathbb{Z})$. En particular, se debe tener determinante $\pm 1$. Pero, utilice el hecho de que $\tau,\tau'\in\mathfrak{h}$ a la conclusión de que el determinante debe ser $1$.

Trabajando hacia atrás le da la otra dirección.