En una red completa, cada función monótona tiene un punto fijo (Teorema de Knaster-Tarski)

Question

L es una red completa, por lo que cada subconjunto tiene un supremo y un mínimo. Además, existe una función$f:L \rightarrow L$ tal que$a \leq b$ implica$f(a) \leq f(b)$. Demuestre que existe un$k$ en L tal que$f(k) = k$

Comencé tomando el conjunto$S = \{a | f(a) \geq a\}$, pero ahora estoy atascado en esto.

Answer 1

Este es el llamado Knaster-Tarski Teorema de punto fijo.

Definir $A:=\{x\in L\colon x\leq f(x)\}$.

Desde $L$ es un completo entramado puede definir $\alpha :=\bigvee _LA$.

Por definición,$\alpha \in L$, por lo que tiene sentido considerar la $f(\alpha)$.

Tenga en cuenta que $A\neq \varnothing$, (por qué?).

Vamos a demostrar que $f(\alpha)$ es un límite superior de $A$. Deje $x\in A$. Desde $f$ es el fin de la preservación de (o monótono), a continuación,$f(x)\leq f(\alpha)$. Por otro lado, por definición de $A$ también tiene que $x\leq f(x)$, por lo $x\leq f(\alpha)$.
Desde $x$ era arbitraria, se ha comprobado que el $f(\alpha)$ en un límite superior de $A$ y, por tanto,$\color{blue}{\alpha \leq f(\alpha)}$.

Ahora, utilizando esta última desigualdad y el hecho de que $f$ es el fin de la preservación de los rendimientos $f(\alpha)\leq f(f(\alpha))$, por lo $f(\alpha)\in A$, lo $\color{blue}{f(\alpha)\leq\alpha}$.

Por lo tanto $f(\alpha)=\alpha$.

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Usted debería emular la prueba mediante el uso de cumplir en lugar de unirse. Consideremos el conjunto a $B=\{x\in L\colon f(x)\leq x\}$.