El uso de $\bigvee$ $\bigwedge$ lugar $\exists$ $\forall$

Question

Mi profesor de Álgebra utilizar algún "extraño" de la notación para mí. Él usa $\bigvee$ lugar $\exists$ $\bigwedge$ lugar $\forall$. Por ejemplo $$\displaystyle\bigwedge_{x\in \mathbb{Z}}\bigwedge_{m\in \mathbb{Z}\backslash\{0\}}\bigvee_{q,r\in \mathbb{Z}}(x=qm+r \wedge 0\leq r<|m|)$$ is same as $(\forall x \in \mathbb{Z})(\forall m \in \mathbb{Z}\barra invertida \{0\}) (\exists q,r \in \mathbb{Z}) (x=qm+r \wedge 0\leq r<|m|) $. If we know the set with which we are working, then we say $\displaystyle\bigwedge_{x}\bigvee_{y}(x+y=0)$ (without saying $x \in \text{Set}$). Le pregunté por esta notación, y él dijo que yo puede ver esto en

K. Kuratowski, A. Mostowski, la teoría de conjuntos, PWN, Warszawa, 1976.

Encontré este libro en la biblioteca y es realmente cierto.

Podría alguien decir algo más acerca de esta notación? Es esta notación estándar en matemáticas? Hizo ver que en cualquier otro lugar?

Answer 1

Trato de dar un argumento de por qué esta notación tiene sentido.

Considere la posibilidad de $$\displaystyle\bigvee_x A(x)$$ as an infinite version of $\vee$. Por ejemplo, si $x$ proviene de una contables set $\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$, entonces considere el $\displaystyle\bigvee_x A(x)$ $$A(x_1) \vee A(x_2) \vee A(x_3) \vee \ldots.$$ Esta expresión es verdadera siempre y cuando al menos uno de los $x_i$ tal que $A(x_i)$ es cierto. Así, equivalentemente, existe un $x_i$ tal que $A(x_i)$ que es cierto, que es $\displaystyle\exists x : A(x)$.

Usted puede hacer lo mismo para $\bigwedge$.