Estoy tratando de demostrar formalmente que la Mobius paquete,M, más de $S^1$ cuando se acumulan con el trivial de rango $1$ bundle $e_1$ no es la trivial paquete. En otras palabras $M\oplus e_1\neq e_2$.
Primero escribimos la cocycles para M:
Cubrimos $S^1$ con $U_a,U_b$, ligeramente ampliada de semicírculos. $U_a \cap U_b=E_1 \sqcup E_2 $. A continuación, para $x \in E_1: g_{ba}=-1$ e de $x\in E_2:g_{ba}(x)=1$.
Esto significa que para $M\oplus e_1$ el cocycles $\hat{g}_{ab}(x)$son \begin{bmatrix} -1 & 0\newline 0 & 1\ \end{bmatrix}y \begin{bmatrix} 1 & 0\newline 0 & 1\ \end{bmatrix}
a la que llamamos $A$e$B$, $E_1$ e $E_2$ respectivamente ( por lo que el cocycles son constantes las funciones de cada componente). En orden para $M\oplus e_1=e_2$ necesitamos encontrar $h_i:U_i\rightarrow GL_2(\mathbb{R})$, $i\in \{a,b\}$tal que para $x\in E_1:$ $\text{Id}=(h_1)^{-1}Ah_2$ e de $x\in E_2:\text{Id}=(h_1)^{-1}Bh_2$.
Esto obliga a una de las $h_i$ a cambio suspiro de la determinante $x$ va para $E_1$ a $E_2$ cual es imposible, ya que estamos considerando real de los paquetes. Hemos terminado.
Primero de todo, quiero saber si lo que he probado es válido, independientemente de mi prueba. Si ese es el caso, yo estaría muy agradecido a los comentarios en mi prueba, ya sea malo o correcto.
