prueba de límites trigonométricos especiales

Question

Estoy tratando de demostrar un especial trig límite, que es...

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos{x}}{x}=0$$

Hasta ahora, esto es lo que tengo (y voy a explicar de dónde estoy confundido) Usando el teorema del encaje, $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ $$-x^2 + 1 \leq \cos{x} \leq 1 $$ $$-x^2 + 1 - 1 \leq \cos x - 1 \leq 1 - 1$$ $$-x^2 \leq \cos{x} - 1 \leq 0$$ $$0 \leq 1 - \cos{x} \leq x^2 $$ $$0 \leq \frac{1- \cos{x}}{x} \leq x$$

Desde el límite de $0$ $x$ es igual a cero (como $x$ se aproxima a cero), por lo que no $\displaystyle{\frac{1-\cos{x}}{x}}$.

Mi primera confusión, es cuando intento gráfico de la última línea como funciones separadas En el cuadrante $3$$4$, sostiene. Sin embargo, en el cuadrante $1$$2$, se convierte en $\displaystyle{x \leq \frac{1-\cos{x}}{x} \leq 0}$.

No estoy seguro de si esto está permitido en el teorema del sándwich, pero estoy un poco confundido.

Tengo otra conjetura en cuanto a por qué el resultado final es incorrecta porque la $-x^2 + 1 \leq \cos{x} \leq 1$ no son los correctos "sándwich" de funciones. $f(x) = \cos{x}$ toques $g(x) = 1$ en más de un lugar. Cada diagrama de teorema del sándwich que he visto, el sándwich de funciones con sólo tocar $f(x)$ en un solo lugar. Es este un criterio que no me he enterado de para la selección de $h(x)$$g(x)$?

PS, yo sé que yo podría haber usado $h(x) = -x^2 + 1$$g(x) = x^2 + 1$, pero me gustaría todavía como para saber lo que hice mal en la parte de arriba, por favor.

Gracias por cualquier ayuda, chicos/chicas/autómatas

Answer 1

No es exactamente correcto partir de

$$0\le1-\cos x\le x^2$ $ a$$0\le{1-\cos x\over x}\le x$ $ porque dividir por$x$ revierte las desigualdades si$x$ es negativo. Lo que está bien es concluir

PS

El teorema de compresión todavía se aplica.

Sin embargo, ¿de dónde vino la desigualdad de apertura,$$0\le\left|{1-\cos x\over x}\right|\le |x|$?

Answer 2

Te recomendaría que utilices la Regla de L'Hospital. Probablemente sea más fácil, ya que puedes deshacerte del denominador instantáneamente. PS

Answer 3

La razón de su desigualdad no lleva a cabo por la negativa $x$ es porque usted dividido por $x$, por lo que al $x$ es negativo, la desigualdad de los signos se invierten. Usted podría tener su tercera línea $$ 0 \le 1 - \cos x \le x^2$$ y argumentan que, puesto que todos los términos son no negativos, $$ 0 \le \left|1 - \cos x\right| \le \left|x^2\right|.$$ Luego dividir ambos lados por $|x|$ obtener $$0 \le \frac{|1 - \cos x|}{|x|} = \left|\frac{1-\cos x}{x}\right| \le |x|$$ así que $$\lim\limits_{x \to 0} \left|\frac{1-\cos x}{x}\right| = 0.$$

Esto también demuestra que el $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$.

(Intuitivamente, porque los únicos números con una magnitud cercana a cero también están cerca de cero. También puede probar esto en un contexto más general de configuración utilizando el sándwich teorema: para cualquier función $f(x)$, $-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$, así que si $|f(x)| \to 0$$x \to c$,$f(x) \to 0$$x \to c$, así.)

Answer 4

Creo que lo que se domina es que n va desde la cuarta línea de la solución a la quinta, que está dividiendo a través de la desigualdad por $x$ ... ¿verdad?

Pero si $x$ es negativo, dividiendo por $x$ debe invertir el sentido de la desigualdad. Así que al final termina con dos desigualdades:

$$0 \leq \frac{1-\cos x}{x} \leq x $$ for $x \geq 0$, y

$$x \leq \frac{1- \cos x}{x} \leq 0 $$ para $x < 0 $.

Ahora calcular la izquierda y a la derecha de los límites por separado, utilizando el teorema del encaje junto con las anteriores desigualdades.

Answer 5

Aquí está mi simplificación:$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos{x}}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos{x}}{x}\cdot\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} $ $$$= \frac{\sin 0}{1 + \cos 0}\cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 0\cdot\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=0$ $

Todo lo que queda es usar el teorema de compresión para demostrar que$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $ La prueba sería similar a esta prueba Encuentre el límite$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (\sin x)^\frac1{\ln x}$