Intuición de matrices

Question

Actualmente estoy estudiando álgebra de matrices. Los axiomas y teoremas de este tipo de álgebra son un poco diferentes de la escuela secundaria álgebra hice. Sin embargo, uno sabe que se está tratando con los números reales en la forma de álgebra y uno siempre puede asociar un objeto físico con un número para ver si un determinado teoremas tiene sentido. Por ejemplo, x-2=0 , hallar x. Ahora uno puede asociar 2 y x con manzanas y ver la operación " - " como comer manzanas y luego tener 2 manzanas y comido x manzanas recibe 0 manzanas, por lo tanto x debe ser de 2 (manzanas) en este caso.

Del mismo modo hay nada físico que puedo asociar con una matriz de modo que puedo llamar a mi intuición cuando se enfrenta con un nuevo teorema/resultado, en lugar de seguir ciegamente álgebra reglas y axiomas asociados con una matriz.

Cualquier ayuda en este sentido será apreciado.

En resumen: por Favor, asociar un común objeto físico que obedece todas las reglas del álgebra de una matriz.

Answer 1

Digamos que usted quería resolver el once ecuaciones: $x+y=1$, $x+y=2$,..., $x+y=11$. El uso de matrices se puede escribir como este

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10\\ 11 \end{array}\right] $

Si usted escribe el resultado de esta ecuación de matriz obtendrá el 11 de ecuaciones a partir de que se quería resolver.

Así como un punto de partida de la intuición puede pensar de matrices como las hojas de cálculo que ayudan a mantener el seguimiento de una gran cantidad de ecuaciones. El álgebra reglas son sólo de cómo se puede manipular la hoja de cálculo sin bonking. El hecho de que $\bf{AB\neq BA}$ bien las hojas de cálculo no funcionan de esa manera, tratar de revertir el orden del ejemplo anterior.

Si quieres ir más lejos, se puede ver en la matriz como una máquina que toma los objetos, como las manzanas, huevos y zapatos, y las combina. Pero también quiero probar varias combinaciones diferentes de manzanas, huevos y zapatos, que es donde la hoja de cálculo como la naturaleza de las matrices de ayudar.

Así que digamos que usted quiere combinar 1 manzana con 2 huevos y 3 zapatos y, a continuación, usted desea grabar lo que usted consigue. Después de eso, trate de combinar 3 manzanas con 2 huevos y 1 zapato y anota el resultado. También comprobar lo que sólo uno de cada combinado da.

Si dejas $x,y$ $z$ representan las manzanas, huevos y zapatos, respectivamente, en el álgebra matricial se obtiene

$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right]$

Así que usted puede pensar de la matriz como una máquina que toma un vector de objetos como de las entradas y, a continuación, genera un nuevo vector con la combinación resultante. En nuestro caso, nuestra salida es

$\left[\begin{array}{c} x+2y+3z\\ 3x+2y+z\\ x+y+z \end{array}\right]$

Observe que este resultado es una columna igual que $\left[\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right]$.

Así que quiero saber lo que me pasa cuando me combine 1 manzana, 2 huevos y 3 zapatos, pero cuando me lío con el resumen de la ecuación de $\bf{A}\vec{x}=\vec{y}$, no quiero terminar la combinación de decir 2 manzanas, 4 huevos y 1 de zapatos en su lugar. Las reglas y axiomas asegurarse de que no importa lo que yo haga con un resumen de la ecuación, yo no cambio lo que estoy tratando de lograr con la matriz.

Answer 2

No necesariamente un objeto físico, pero el álgebra lineal tiene que ver con los vectores. Casi todas las operaciones y teoremas tienen algo que ver con los vectores. Un vector puede ser pensado como velocidad, momento, fuerza, momento, campo, etc.