Conceptos de la función cuadrática.

Question

Mi profesor estaba explicando cuadráticas en mi clase y no estaba claro para mí. El problema era

Supongamos que$at^2 + 5t + 4 > 0$, muestre que$a > 25/16$.

Mi profesor dijo que no hay soluciones para esta función cuando es mayor que$0$ y usa$b^2-4ac \lt 0$, y esta es la parte que me confundió. Entiendo por qué usó$b^2-4ac \lt 0$ pero no puedo entender por qué no hay soluciones con solo mirar la función. ¿Podría alguien explicarme esto?

Answer 1

Edit: voy a tratar de decir algo general en primer lugar. Ojala que va a hacer que mi respuesta es un poco más fácil de entender. Pero como lo primero, puede ser útil echar un vistazo, por ejemplo, en el artículo de Wikipedia sobre ecuaciones cuadráticas.

Si usted tiene una función de $f(t)$, $t$ es una variable (llamada variable independiente). Cuando cambiamos el valor de $t$, entonces el valor de $f(t)$ cambios. Por ejemplo, si $f(t) = t +2$,$t = 1, f(t) = f(1) = 3$. Para $t = 2, f(t) = t(2) = 4$.

Ahora, dada una función de $f(t)$, usted puede hacer la pregunta: ¿existe un valor o $t$ tal que para que el valor de $f(t)$ es cero. Usted está preguntando si hay alguna ceros. Cualquier cosa que hace que la función sea igual a cero.

Un tipo especial de función son los polinomios cuadráticos. Aquí $f(t)$ tiene este aspecto:

$$ f(t) = a^2 + bt + c. $$ ($a,b,c$ fijos son constantes.) Por ejemplo,$f(t) = t^2 + 3t + 2$. Ahora la pregunta es: ¿existe un número tal que el valor de $f(t)$$0$? La respuesta es sí, porque $$f(-1) = (-1)^2 + 3\cdot(-1) + 2 = 0.$$

Ahora, si usted sabe acerca de una función que $f(t)>0$ todos los $t$, entonces no importa lo $t$ $f(t)$ no es nunca va a ser igual a cero. Siempre es positivo. Eso es exactamente lo que significa decir que la $f(t) > 0$ todos los $t$.

Otra manera de responder a la pregunta acerca de si una función es siempre igual a cero es dibujar la gráfica de la función. Si la función cruza el $t$-eje (piensa: $x$-eje) entonces, existe algún número para el cual el valor de la función es cero. Que es exactamente lo que significa para cruzar la $t$-eje.

Para hacer eco de lo que otros ya han mencionado: usted está considerando un polinomio: $$ P(t) = a^2 +5t + 4. $$ Si un bosquejo de la gráfica de este polinomio se obtiene una parábola. La cuestión se puede plantear si la gráfica del polinomio se cruza con el $t$-eje. Esta pregunta es la misma pregunta para las raíces (o ceros) del polinomio. I. e. quiere saber si no hay un número $t_0$ tal que $P(t_0) = 0$.

Usted está asumiendo (suponiendo) que $P(t) > 0$ todos los $t$. I. e. que significa que no son raíces del polinomio, es decir, no hay solución a la ecuación de $P(t) =0$. En primer lugar usted podría notar que si $P(t) >0$ todos los $t$, $a$ tiene que ser un número positivo. Si $a$ fue negativo, entonces para $t = -100000$, $P(t)$ sería negativo, ¿verdad?

Así que ¿qué más podemos decir? Tenemos el discriminante que dice algo acerca de cuántas raíces del polinomio tiene. Para un general de la ecuación cuadrática: $at^2 + bt + c= 0$ ($a,b,c$ siendo constantes de aquí y $t$ de la variable), el discriminante se define como $$ d = b^2 - 4ac. $$

Es un hecho que si $$ \begin{align} d &> 0\quad \text{ means that there are exactly two distinct roots}\\ d &= 0\quad \text{ means that there are exactly one root}\\ d &< 0\quad \text{ means that there are no roots.} \end{align} $$

Por su polinomio, entonces usted necesita $d = 5^2 - 4a\cdot 4 < 0$. Así $$ \begin{align} 5^2 - 4a\cdot 4 &< 0 &\Rightarrow\\ - 4a\cdot 4 &< -25 &\Rightarrow\\ a &> \frac{25}{16}. \end{align} $$ Y hay que ir.

Answer 2

Para que$f(t)=at^2+5t+4>0$ todos$t$, el discriminante debe ser negativo, de lo contrario hay raíces reales en$f(t)$. El discriminante es$25-16a$, así que$25-16a<0$ y por lo tanto$a>25/16$.

Answer 3

La ecuación de una$t^2$ + 5t + 4 = 0 puede o no puede tener una solución. Esto depende del valor de una que usted elija. Gráficamente, si esta ecuación tiene una solución, la gráfica va a tocar y/o ir a través del eje x. Si no hay una solución, el gráfico no tiene una solución. Estas intersecciones en x se define por las soluciones: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\over2a}$$ For these solutions to be real, $b^2-4ac$, el discriminante, debe ser mayor que o igual a 0. Si no, la solución será irracional(sqrt de neg número).

Espero que esto ayude!