La refutación de la Anti-Cantor Bielas

Question

De vez en cuando tiene la oportunidad de discutir con anti-Cantor bielas, las personas que por alguna u otra razón atacar la validez de Cantor de la diagonalización de la prueba de la uncountability de los números reales, sin duda, una de las más hermosas ideas en matemáticas. Generalmente hacen el mismo tipo de argumentos, de modo que hace años escribí esta sección de preguntas frecuentes para tratar con ellos. Por desgracia, aún así es difícil llegar a cualquier lugar con estas personas; la discusión con frecuencia se convierte en algo de esta forma:

ME: Supongamos que se ordenó una lista que contiene todos los números reales. A continuación, podemos leer fuera de la diagonal entradas y construir un número real que difiere en la N-ésima posición decimal de la N-ésima real número en la lista. Este número real, obviamente, no puede estar en la lista. Así que la lista no contiene todos los números reales.

ELLOS: por supuesto que la propuesta de su número no está en la lista; no es un bien definida número real.

YO: ¿Qué quieres decir? Yo le di el procedimiento exacto para la construcción. Tomar la N-ésima real número en la lista, y se hacen diferentes de ese número en la Enésima decimal.

ELLOS: Pero si realmente tenemos una lista de todos los números reales, entonces la propuesta de su número tiene que estar en algún lugar en la lista, ¿verdad?

ME: Sí, por supuesto, así que vamos a decir que es en el lugar 57. Entonces se tendría que diferir de sí mismo en el lugar 57, lo cual es imposible!

ELLOS: Exactamente, es imposible! Su definición requiere que difiere en algún lugar de sí mismo, lo cual es imposible, por lo que su definición es mala.

YO: Pero que sólo está diciendo que es imposible sobre la base de la suposición de que hay una lista completa de los números reales, y el punto es para refutar esa presunción.

ELLOS: Pero estamos haciendo esta prueba bajo esta suposición, entonces, ¿cómo podemos hacer una definición que va en contra de ese supuesto?

YO: Pero esa definición es buena, independientemente de si hay countably o una cantidad no numerable de reales. Se trata de un completo, algorítmica, sin ambigüedades, la especificación del número real. ¿Qué más se puede pedir?

ELLOS: quiero que la definición de ser a la vez ambigua y no-contradictoria, y su definición es contradictorio!

ME: olvídate de la supuesta lista completa de los números reales por un momento. No está usted de acuerdo en que para cualquier lista de números reales, completa o incompleta, es posible construir un número real que difiere en el Enésimo lugar desde el N-ésimo número de la lista?

ELLOS: No, sólo es posible construir un número real si ese número real no está en la lista, de lo contrario es un contradictorio definición.

YO: ¿no ves que la contradicción no es la culpa de mi perfectamente buena definición, pero en lugar de la culpa de su suposición de que hay countably muchos números reales?

ELLOS: No, No lo creo.

YO: Pero, ¿y si nos tomamos nuestro supuesta lista completa de los números reales, y se alimenta en línea por línea en una computadora con un algoritmo que escupe, dígito por dígito, un número real que difiere en el N-ésimo dígito del N-ésimo número de la lista? Sería como un equipo del programa de trabajo?

ELLOS: No no, el programa de ordenador, caería en el lugar en la lista donde el número está construido residiría, y entonces sería un accidente, porque no puede elegir un dígito del número que se diferencia en el n-ésimo lugar de sí mismo.

ME: Argh!

Entonces, ¿cómo puedo dejar de ir en círculos y convencerlos de que están equivocados?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

La formulación "Si $f:\mathbf{N} \\mathbf{R}$ es arbitraria asignación, entonces $f$ no es surjective" claramente revisiones de la lista original de los números reales, y deja de lado la potencialmente combatitive cuestión de si o no la lista es de $\mathbf{R}$.

Significativamente, el argumento ya no es por la contradicción, sino por la implicación directa: La diagonal procedimiento de construcciones de un número real no en la imagen de $f$. Tal vez esto puede ayudar a eludir el sentido de la doble discurso, presumiblemente, que se transmite en primer lugar de postular la existencia de una enumeración de $\mathbf{R}$, entonces argumentando que algunos decimal infinita no está en dicha lista.

Answer 2

Un error de táctica y de la sustancia, en esa sección de preguntas frecuentes y un incontable número de debates en línea de estos asuntos, es equiparar

razonable de las objeciones a las partes del marco de trabajo (incluyendo las objeciones idénticas a las ideas publicado y desarrollado por cumplida matemáticos)

con

errores en la digestión de la prueba en sus propios términos.

La primera categoría, de coherente auto-consistente de las críticas de que en algunos puntos de vista o formalizaciones son correctos objeciones, incluyen

• no puede ser real o completado el infinito
• la prueba por contradicción y/o medio excluido de la lógica, es malo
• debe haber un procedimiento efectivo/definición para cada número
• el número de procedimientos eficaces/definiciones contables

Ustedes no pueden superar estas críticas como tal. En cambio, la explicación es presentar el Cantor de la prueba de una manera que es compatible con la crítica ya sea mostrando que el controvertido concepto no aparece en la prueba, o la formulación de la diagonalización argumento como sería declaró en una finitist, constructivo, predicativo, computable, o definidos por las matemáticas.

Answer 3

Usted podría tratar de limitar la discusión a lo finito caso del teorema de Cantor como un primer paso. Mostrar que para cada función $f$ en el conjunto finito de $\{1,\ldots,n\}$ no es un subconjunto del dominio de $\{1,\ldots,n\}$ que no es un elemento de $\text{ran}(f)$. Mostrar cómo la construcción de obras de algunos ejemplos, digamos $n = 2$ y $n=3$.

Si ellos no aceptan este argumento en el caso finito, entonces los reto a escribir un contraejemplo de $f$. Si no la acepta, pídale que señale lo que va mal cuando $\text{dom}(f)$ es $\mathbb{N}$ (o un conjunto arbitrario, aunque esto puede ser demasiado abstracto para ellos.) Al menos, usted podría ser capaz de separar su confusión acerca de la diagonalización de su confusión sobre el infinito.

EDIT: estoy hablando de la versión del teorema de Cantor para los conjuntos de números naturales en lugar de la versión de los números reales. Si no entienden la correspondencia entre los números reales y los conjuntos de números naturales, su noción de "número real", probablemente no es lo suficientemente precisa como para tener una razonable discusión acerca del teorema de Cantor.

Answer 4

No es una prueba, pero en esta situación es razonable ser igual de mal humor estudiante. Cuando digo que su algoritmo es equivocado, él no puede ponerse de acuerdo hasta que yo le muestran ningún contraejemplo. Así que usted puede preguntar a tus oponentes para darle método de construcción de la lista. Y usted siempre será capaz de mostrar que la lista es incompleta:)

De todos modos hay varias maneras de probar que el conjunto de los números reales es incontable. Son todos ellos rechazados por tus bielas?

Answer 5

En lugar de entrar en una discusión acerca de la prueba de los números reales, propongo discutir en lugar de la versión abstracta, que da mucho menos oportunidad para la polémica. Vamos a la "manivela" decidir lo que él piensa acerca de la versión abstracta y su prueba, y luego ver dónde ir desde allí. Si se niega la versión abstracta, él debería ser capaz de encontrar fallas en la prueba, o aceptar ser incompatible (si no encontrar ningún fallo en la prueba, pero aún rechazando la conclusión). A la hora de aceptar la versión abstracta de uno todavía puede rechazar la solicitud de los números reales (por ejemplo, al negar la existencia de conjuntos infinitos, o tal vez la aceptación de la existencia de los números naturales, pero no de su juego de poder), pero obliga a trazar una línea en algún lugar; una vez hecho esto, realmente no hay nada de que hablar. Para referencia, aquí está:

La proposición. Para cada conjunto $X$ y cada mapa de $\def\P{\mathcal P}f:X\to\P(X)$ existe $Y_f\en\P(X)$ tal que para todo $x\in X$ uno $Y_f\neq f(x)$.

Prueba. Tomar $Y_f=\ {\z\X\a mediados de z\noen f(z)\,\}$. Por $x\in Y_f$ uno $x\noen f(x)$ para $Y_f\neq f(x)$. Por $x\in X$ con $x\noen Y_f$ uno $x\in f(x)$, entonces $Y_f\neq f(x)$. Esto establece $Y_f\neq f(x)$ para todo $x\in X$.