Dado un mapa continuo $f \colon S^n \to S^n$, se induce un mapa de $f_{*} \colon \tilde{H}_n(S^n) \to \tilde{H}_n(S^n)$ de la forma $f_{*}(z)=k*z$ donde $k$ es un número entero. Definir el grado de $f$$k$.
$$ $$
Vamos $$p(z) = a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1} + \dots +a_0 $$ a complex valued polynomial function. Let $\gamma : C \a S^1$ $$\gamma(z) = \dfrac{p(z)}{\mid p(z)\mid}$$ where $C$ is a circle contained in $\mathbb{C}$ (the same for $S^1$). Obviously $C$ doesn't touch any roots, so $\gamma$ es "bien definido".
1) tengo que demostrar que si el círculo contiene sólo una raíz de $p$ ( $\alpha$ ), luego el grado topológico es $m$, la multiplicidad de tales raíz de $p$.
Mi Intento. deje $p(z)=(z-\alpha)^m\tilde{p}(z)$. A continuación, considere la posibilidad de la homotopy $$\Gamma(s,z) := \dfrac{ \tilde{p}(s\alpha + (1-s)z)(z-\alpha)^m}{\mid \tilde{p}(s\alpha + (1-s)z)(z-\alpha)^m \mid}$$ where $s$ ranges in $[0,1]$ and then I have to prove that $\dfrac{(z-\alpha)^m}{\mid (z-\alpha)^m \mid}$ has degree $m$.
2)la Segunda tarea es demostrar que si el círculo contiene dos raíces $\alpha, \beta$, entonces el grado del mapa $\gamma$ es la suma de las multiplicidades ($m,n$) de tales raíces. Aquí está mi intento no estoy seguro acerca de la exactitud de dicha homotopy. Alguien me puede ayudar señalando por qué es correcta (o incorrecta?)
considerar la homotopy $$ H(z,t) := := \dfrac{ \tilde{p}(s\alpha + (1-s)z)(z-\alpha)^m(z-[(1-s)\beta+sa])^n}{\mid \tilde{p}(s\alpha + (1-s)z)(z-\alpha)^m(z-[(1-s)\beta+sa])^n \mid}$$
Las dudas surgen porque no es muy claro para mí cuando un homotopy es válido y cuando no. Aquí creo que es correcto, porque es obviamente continua, pero el hecho de que mi polinomio se define más de un círculo (por lo que hay un agujero en el medio) no me deja estar seguro de dicha función.
