Decaimiento exponencial de los Coeficientes de Laplace

Question

Laplace coeficientes son los coeficientes de Fourier se utiliza en los cálculos de la mecánica Celeste

$$ b^n_s (\alpha) \equiv {1 \over \pi} \int_0^{2\pi} {\cos n \phi \over (1 - 2 \alpha \cos \phi + \alpha^2)^s} d \phi $$

con $s = i + 1/2$ (la mitad de un entero) y $0<\alpha <1$.

La función de $(1 - 2\alpha \cos \phi + \alpha^2)^{-s}$ es analítica (localmente) de modo que los coeficientes de Fourier se pudren rápidamente. Para un gran $n$ $\alpha$ no es pequeño, creo que el $b^n_{1/2} \sim c_1 e^{-c_2(1-\alpha)n}$ (con constantes $c_1,c_2$). ¿Cómo puedo demostrar que esto es cierto y ¿cómo se derivan las constantes de $c_1,c_2$? Si esto era una mala conjetura es que hay una función exponencial que hace aproximados de los coeficientes en un gran $n$?

Answer 1

Vamos $$ f(x,\alpha)=\frac1{c(x)(1+\alpha^2 x^2)(1-2\alpha \cos x+\alpha^2)^s}, $$ donde $$c(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{1+\alpha^2 (x+2\pi n)^2}.$$ This function belongs to $L_2(\mathbb R)$, has an analytic continuation in the strip $|\Im z|<a=\log \alpha^{-1}$ and its Fourier transform at the integer points $\xi=n$ is equal to $b_s^n(\alpha)$. It is known that the wider is the strip the faster is the decay of the Fourier transform, namely as $e^{-b|\xi|}$ for $b\en(0,a)$, see the reference in the answer here. So a rough result implied from there seems to be this: for any $c_2<\log\alpha^{-1}\ $ there exists $c_1>0$ such that $|b_s^n(\alpha)|\le c_1 e^{-c_2n}$.

EDITAR

Pero la misma idea aplicada al círculo y no la línea da una solución más simple. Considere la función $$f(z)=\frac1{(1+\alpha^2-\alpha(z+1/z))^s}.$$ Then $$f(e^{i \phi})=\frac1{(1-2\alpha \cos \phi+\alpha^2)^s}.$$ The denominator of $f$ has roots $\alpha$, $1/\alpha$. So $f$ is analytic in the ring $R=\{\alpha<|z|<\alpha^{-1}\}\ $. Hence $$f(z)=\frac12\sum_{n=-\infty}^\infty b_s^n(\alpha)z^n,\quad z\in R.$$ From the Cauchy root test for convergence it follows that $\limsup_{n\to\infty} |b_s^n(\alpha)|^{1/n}= \alpha\ $. Esto puede ser escrita en forma exponencial como se desee por encima.