Triángulo acutángulo: círculos con diámetros de las dos partes se reúnen en la tercera

Question

Dejar un triángulo acutángulo ABC dará. Demostrar que los círculos cuyos diámetros son AB y AC tienen un punto de intersección de BC. ¿Cómo puedo ir a acerca de este problema? Puede Usted por Favor darme una Pista?

Answer 1

Sugerencia: los Ángulos en un semi-círculo se $90^{\circ}$.

(más precisamente, el locus de $P$ tal que $\angle{XPY}$ $90^{\circ}$ es un círculo con diámetro de $XY$).

Spoiler:

Caída perpendicular de a a BC, dejar que el pie de la perpendicular ser D. Utilice el arriba y ver que D se encuentra tanto en los círculos!

Answer 2

Un enfoque es construir el triángulo que une los puntos medios de AB, AC y BC.

Answer 3

Algo relacionado con Ross en la respuesta, usted sabe que un punto de intersección de los círculos es el punto de $A$. El segmento de línea que une los dos puntos de intersección es un acorde de ambos círculos y es atravesada perpendicularmente por el segmento uniendo los centros de los dos círculos. ¿Cómo funciona el segmento que une los dos centros de los círculos se refieren a $\overline{BC}$?

El segmento de línea que une los dos centros de los círculos es paralelo a $\overline{BC}$. Combinando esto con el hecho de que ese segmento es la mediatriz de la cuerda de unirse a los puntos de intersección da el resultado deseado.

También, este mismo razonamiento funciona en el caso de que $\angle B$ o $\angle C$ no es agudo (en el que caso de que el punto de intersección no está en $\overline{BC}$, pero todavía está en $\overleftrightarrow{BC}$.