Si 2 matrices son tales que $(A+B)^k=A^k+B^k$$k=2,3$, muestran que $(A+B)^m=A^m+B^m $ todos los $m \in \mathbb{N}$

Question

Deje $A,B \in M_n(C) $. La matriz $A-B$ es invertible y $(A+B)^k=A^k+B^k $, $k \in {2,3} $. Demostrar que $(A+B)^m=A^m+B^m $ por cada $m \in N $.

PS. Obtuve $AB+BA=0$$A^2B+B^2A=0$, pero necesito tu ayuda, por favor :(

Answer 1

Ya mostró $$ AB + BA = 0\\ A^2B+B^2A = 0 $$ Continuar desde allí, \begin{align*} &A^2B+B^2A = 0\\[4pt] \implies\;&A(AB)+B(BA) = 0\\[4pt] \implies\;&A(AB)+B(-AB) = 0\\[4pt] \implies\;&(A-B)(AB) = 0\\[4pt] \implies\;&AB = 0&&\text{[since %#%#% is invertible]}\\[4pt] \end{align*} Tenga en cuenta que $A-B$invertible implica $A-B\;$invertible. Por lo tanto, la hipótesis es simétrica en las variables $B-A\;$por lo tanto, por el cambio de las variables, obtenemos $A,B.\;$.

De ello se sigue que $BA=0$$ para todos los $$(A+B)^m = A^m + B^m$ya que en la expansión de $m \ge 2,\;$$ todos los "términos centrales" se desvanecen.

Trivialmente, $$(A+B)^m = (A+B)(A+B)\cdots(A+B)$ mantiene para $(A+B)^m = A^m + B^m$por lo tanto $m=1,\;$$ para todos los enteros positivos $$(A+B)^m = A^m + B^m$.

Answer 2

Sugerencia Para $k = 4$, tenemos $$(A + B)^4 = (A + B)^3 (A + B) = (A^3 + B^3)(A + B) = A^4 + \color{red}{A^3 B + B^3 A} + B^4 .$$ Por otro lado, el uso de las identidades se deduce da $$B^3 A = B (B^2 A) = B (-A^2 B) = BABA = -B^2 A^2 = A^2 B A = -A^3 B ,$$ de modo que el rojo términos desaparecer.

Se puede generalizar este manipulación arbitraria de las $k$?