Deje $S=\{1,2,3,4,5,...2N\}$ el conjunto de la primera $2N$ números naturales. Partición del conjunto en dos subconjuntos (cada subgrupo tendrá $N$ elementos). Organizar un subconjunto en orden creciente y la otra en orden decreciente. Si sumamos el valor absoluto de la diferencia de dos elementos correspondientes, la respuesta es $N^2$. He leído un artículo en línea acerca de esto, pero ahora no puedo encontrar. Puede que alguien me muestre un enlace sobre la declaración anterior? o puede que alguien me muestre una prueba? ¿Alguien sabe de una declaración más general relacionada con la anterior? Gracias.
Respuesta
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Supongamos que tenemos alguna partición $A = \{a_1, a_2,\ldots,a_N\}, B = \{b_1, b_2,\ldots,b_N\}$ $a_i<a_{i+1}$ $b_i > b_{i+1}$ todos los $i$, y el conjunto de $$ S = \sum_{i = 1}^N |a_i-b_i| $$ Debido a que el $a_i$ están aumentando, y el $b_i$ están disminuyendo, hay un número de $k$ tal que $a_i<b_i$ todos los $i \leq k$ $a_i>b_i$ todos los $i > k$. Eso significa que podemos reescribir $S$ $$ S = \sum_{i = 1}^k (b_i-a_i) + \sum_{i = k+1}^N(a_i-b_i) $$ $$ = \sum_{i = 1}^k b_i + \sum_{i = k+1}^N a_i - \left(\sum_{i = 1}^k a_i + \sum_{i = k+1}^N b_i\right) $$ Mira los conjuntos de $B' = \{b_i \in B\mid b_i > N\}$$A' = \{a_i \in A\mid a_i \leq N\}$. Una vez que usted ve que tienen el mismo tamaño, se desprende que el tamaño es $k$. Esto significa que todos los términos que son superiores a las $N$ aparece a la izquierda (con signo positivo) y todos los términos menos de o igual a $N$ aparece a la derecha (con signo negativo), independientemente de la partición.
Esto hace que sea fácil de calcular la suma, porque se puede organizar algo como esto: $$ (N+1) - 1 + (N+2) - 2 + \cdots + 2N - N = N + N + \cdots + N = N\cdot N $$
