¿Cómo puedo saber en qué puntos de $f(x)$ continua? y cómo puedo saber en que puntos de $f(x)$ diferenciable?

Question

dado $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por lo que:
$$f(x) = \begin{cases}x & x \in \mathbb{Q} \\ ax(x-1) & x \not \in \mathbb{Q} \end{cases}$$

¿Cómo puedo saber en que puntos de $f(x)$ continua? Y cómo puedo saber en que puntos de $f(x)$ es diferenciable?

Answer 1

La continuidad de la $f$

Como los racionales y los irrationals son densa en $\mathbb R$, y las funciones de $f_1: x \mapsto x$ $f_2: x \mapsto ax(x-1)$ son ambas continuas funciones reales, $f$ es continua en a $x$ si y sólo si $$x = ax(x-1)$$ Si $a =0$, $0$ es la única solución de esta ecuación. Y para $a \neq 0$, las soluciones se $0$$a +\frac{1}{a}$.

La diferenciabilidad de $f$

Como un mapa sólo puede ser diferenciable en donde es continua, no nos queda más que estudiar la diferenciabilidad en los puntos de encontrar arriba.

Si $a=0$, tenemos

$$f(x) = \begin{cases}x & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \not \in \mathbb{Q} \end{cases}$$ and for $ h \neq 0$

$$\frac{f(h)-f(0)}{h-0}= \begin{cases}1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \not \in \mathbb{Q} \end{cases}$$

por lo tanto $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h-0}$ no puede existir por la unicidad de un límite. En consecuencia, $f$ es diferenciable, por $a=0$.

Y para $a \neq 0$, tenemos $f(0) = 0$$f(a +\frac{1}{a})= a +\frac{1}{a}$.

De acuerdo con un argumento similar a los usados por la continuidad, $f$ es diferenciable en a $0$ si y sólo si$f_1^\prime(0)=f_2^\prime(0)$. Y tenemos $f_1^\prime(0)=1$ , mientras que $f_2^\prime(0)=-a$. $f$ es diferenciable en a $0$ si y sólo si $a=-1$.

La última cosa es el estudio de la diferenciabilidad de la de $f$$a +\frac{1}{a}$. Tenemos $f_1^\prime(a +\frac{1}{a})=1$$f_2^\prime(a +\frac{1}{a})=2a^2-a+2$.Estos dos valores son iguales si y sólo si $$2a^2-a+1=0$ $ , que no tiene solución real.

Conclusión

Si $a=0$, $f$ sólo es continuo en $0$ y es diferenciable.

Si $a = -1$, $ f$ es continua en a $0$ $-2$ y diferenciable sólo en $0$.

Si $a \notin \{0,-1\}$, $ f$ es continua en a $0$ $a +\frac{1}{a}$ y es diferenciable.

Answer 2

$\forall x \in \mathbb{Q} \forall \epsilon >0 \exists y \notin \mathbb{Q}: |x-y|<\epsilon $ eso $f(x)$ será continuo sólo al $x=ax(x-1)$. $$x_1=0, x_2=\frac{1}{a}+1$$ esto significa que $lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)$ $lim_{x \rightarrow \frac{1}{a}+1}f(x)=\frac{1}{a}+1=f(\frac{1}{a}+1)$

Answer 3

La respuesta depende del valor de $a$. Si $a\ne 0$ la función $$f(x) = \begin{cases}x & x \in \mathbb{Q} \\ ax(x-1) & x \not \in \mathbb{Q} \end{cases}$$is continuous at $x=0$ and at $x=1+\frac {1}{a} $ where the two definitions result in the same value. For $=0$ the only point of continuity is $ x=0$.

Sabemos que una función que no es continua en un punto no tiene una derivada en ese punto.

Si $a=0$ nos fijamos en el único punto de la continuidad de la $f(x)$ es decir $x=0$. La función no tiene derivada en $x=0$ debido a que el cociente de la diferencia de racionales se acercará a $1$ mientras que para irrationals que se acercará a $0$.

Para $a\ne 0$, tenemos dos puntos de mira .

Para $x=0$, el cociente de la diferencia de enfoques $1$ para los racionales y los enfoques $a(2x-1)$ para irrationals. Los resultados coinciden sólo si $a=-1.$

Para $x=1+\frac {1}{a}$, el cociente de la diferencia de enfoques $1$ para los racionales y los enfoques $a(2x-1)$ para irrationals. Los resultados coinciden de nuevo si $a=-1$, lo que nos lleva de vuelta a $x=0.$