Así que después de mucha investigación, y toneladas y toneladas de papeles que he vivido, por fin tengo algo de idea de cómo resolver las ecuaciones que me va a dar a los candidatos para el asintótica grupo de simetría para Kerr/CFT de la correspondencia. Uno tiene las condiciones de contorno $h_{\mu\nu}$, y las métricas que se comporta como $g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ donde $\bar{g}_{\mu\nu}$ es el fondo de la métrica (en este caso se toma como horizonte cercano extrema métrica de Kerr), y $h_{\mu\nu}$ son las perturbaciones (dado).
Así que la tarea es encontrar diffeomorphisms $\xi$ para que esta medida va a transformar de acuerdo a
$$\bar{g}_{\mu\nu}+\mathcal{L}_\xi \bar{g}_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$
Y uno resuelve que por resolución de las ecuaciones
$$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal(r^m)$$
donde $\mathcal{O}(r^m)$ son las condiciones de frontera, dada en términos de coordenadas radiales. A partir de esto, y el hecho de que $h_{\mu\nu}=h_{\nu\mu}$ I get diez ecuaciones.
Ahora mi problema es este: ¿Qué tomar como ansatz para $\xi$?
En algunos documentos, que tome este:
$$\xi^\mu=\xi^\mu_0(t,\theta,\phi)+r\xi^\mu_1(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^2)$$
Pero en ciertos papeles he encontrado que los autores de este formulario (ver después de la ecualización. 4.4 aquí, o aquí eq 5.1)
$$\xi^\mu=\sum\limits_{n=-1}^\infty \xi^\mu_n r^{-n}$$
de tal manera que tenemos subleading contribuciones (una disminución del radial de coordenadas).
Ahora, me inclino por la segunda, puesto que la diffeomorphism dado en Guica et. al se da con subleading términos.
Que debo resolver esto por poner un cierto par de términos, y ver lo que la condición de contorno dice. Por ejemplo tenemos
$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$
Eso significa que todos los $\mathcal{O}(r^2)$ contribuciones cancelar, y sólo ecuaciones con $r$ o menos $r$ contribuciones de sobrevivir. Pero la respuesta es drásticamente diferente si me tome la primera o segunda ansatz.
Entonces, ¿qué tomar? Estoy en el camino correcto? Si me tome la segunda a uno, lo que n debo empezar? $n=-1$ o $n=-2$?
Oh, y finalmente llegué a la manera de resolver esta mirando en este artículo y siguientes de cómo la obtuvieron en el apéndice a
EDITAR:
He estado pensando. ¿El hecho de que, en su artículo, la métrica, y el ansatz va con poderes de $v$, significa que, puesto que sus ecuaciones son limitados por $\mathcal{O}(v)$ en adelante todo poder superior se cancelan uno al otro? En ese caso, ya que estoy tomando sólo subleading en términos de la métrica, y de las condiciones de contorno (diferente para cada uno de los 10 términos), y si tomo que mi ansatz cae como $r^{-n}$, lo que significa que todos los menores de orden de corrección de cancelar?
La pregunta sigue siendo: ¿qué n? Ya no es el mismo si mi $\xi$ comienza con $r^2$ o $r$ :\
EDIT2:
Voy a poner un componente para mostrar lo que estoy haciendo. Aunque creo que algo está mal, ya me estoy poniendo complicadas ecuaciones (cuando las cosas se ponen demasiado complicado, es una especie de mostrar que las cosas no van en la dirección correcta, al menos eso es lo que la experiencia me demostró)
Por lo tanto, mi métrica es $g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, como se explicó anteriormente. La primera pregunta que viene a mi mente: ¿puedo poner manualmente $h_{\mu\nu}$ en esta expresión, o puedo utilizar el dado de condiciones de frontera? Se podría decir que el $h_{\mu\nu}$ es arbitrario, y mi métrica tiene que tener un poder caerse de las perturbaciones, por lo que mi $tt$ componente
$$g_{tt}=-\Omega^2(\theta)(1+r^2(1-\Lambda^2(\theta)))+r^{-1}h_{tt}(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^{-2})\quad (\star)$$
He quitado $2GJ$, ya que sólo un factor en la parte delantera de la métrica, no dependiendo de ninguna de las variables ($t,r,\theta,\phi$), y no contribuye a diffeomorphisms.
Voy a probar esto después de terminar lo que hice.
Sin embargo, acabo de poner la dada las condiciones de contorno. Para $tt$ componente que tengo
$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)=\xi^\sigma\partial_\sigma g_{tt}+g_{\sigma t}\partial_t\xi^\sigma+g_{t\sigma}\partial_t\xi^\sigma$$
Desde $g_{tt}$ depende de $r$$\theta$, tengo dos componentes en el primer argumento. En el segundo y tercer argumentos son los mismos desde $g_{t\phi}=g_{\phi t}$. Por lo que tengo
$$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$
$$(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega\Omega'+2\Omega(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))r^2+\mathcal{O}(r^2))+(\xi^r_{-1}r+\xi^r_0+\xi^r_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega^2(1-\Lambda^2)r+\mathcal{O}(r))+2((-\Omega^2-\Omega^2(1-\Lambda^2)r^2+\mathcal{O}(r^2))(\partial_t\xi^t_{-1}r+\partial_t\xi^t_0+\mathcal{O}(r^{-1}))+(\Lambda^2\Omega^2r+\mathcal{O}(1))(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^\phi_0+\partial_t\xi^\phi_1 r+\mathcal{O}(r^{-2})))=\mathcal{O}(r^2)$$
Después de la clasificación, diciendo que todas las correcciones de $\mathcal{O}(r^2)$ desaparecen, termino con
$$(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))\xi^\theta_{-1}-\Omega(1-\Lambda^2)\partial_t\xi^t_{-1}=0$$
Pero, este está bastante bien, los demás a veces tienen seis o más componentes ($\xi^\mu$). Voy a trabajar todos, y, a continuación, intente con $(\star)$ como una hipótesis y ver si las cosas simplificar...
EDIT 3:
Así que las cosas no están simplificando. Pero una cosa he aprendido: necesito solucionar asintótica de la Matanza de la ecuación.
Mi siguiente intento, el que yo creo que es una forma rápida y relativamente buen intento, es solo ver lo que el líder de los pedidos de los componentes deben ser tales que cumplan con los asintótico de la Matanza de ecuaciones, dado por las condiciones de contorno. A continuación, voy a tratar de hacer explícita de cálculo.
Por ejemplo (y espero estar en una pista de la derecha) por $tt$ componente tendría
$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\mathcal{O}(r^2)+\xi^r\mathcal{O}(r)+\mathcal{O}(r^2)\partial_t\xi^t+\mathcal{O}(r)\partial_t\xi^\phi=\mathcal{O}(r^2)$$
Así que para que esto sea cierto (LHS=RHS) que debo tener
$$\xi^r\to\mathcal{O}(r)$$
$$\xi^\theta\to\mathcal{O}(1)$$
$$\partial_t\xi^t\to\mathcal{O}(1)$$
$$\partial_t\xi^\phi\to\mathcal{O}(r)$$
Espero que estoy en el camino correcto.
Tengo una idea de cómo Guica et. al hicimos.
En primer lugar tenemos que adivinar lo que el simetrías son y, a continuación, generar las condiciones de contorno actuando con los diffeomorphisms y, a continuación, compruebe que los cargos son finitos y integrables.
Así que es más un juego de adivinanzas que exacto de resolución de problemas :S
EDIT 4:
Hasta ahora (por la solución asintótica de la Matanza de ecuaciones) que sólo recibe el $\xi^\theta$ componente derecho. Que se me han
$$\xi^\theta_0=\xi^\theta_{-1}r$$
que, cuando me pongo en el ansatz puedo conseguir
$$\xi^\theta=\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$ $$\xi^\theta=\xi^\theta_1 r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$
que es exactamente el mismo en el artículo de Guica et. al. Pero no hubo suerte con los otros componentes.
Si sólo hay algo de información sobre lo que tengo que poner en forma asintótica de la Matanza ecuación tras el signo igual...
EDIT 5:
Voy a escribir las ecuaciones tengo por poner $\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal{O}(r^n)$ donde $\mathcal{O}(r^n)$ están dadas por las condiciones de contorno:
$$tt:\quad (\Lambda \Lambda' \Omega+(\Lambda^2-1)\Omega')\xi^\theta_{-1}+(\Lambda^2-1)\Omega \partial_t\xi^t_{-1}=0$$
$$t r:\quad (\Lambda^2-1)r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+(\Lambda^2-1)r^3(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1}+\xi^t_1r^{-2}+\xi^t_2r^{-3})-$$ $$-r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+\Lambda^2\xi^\phi_{-1}+\Lambda^2r^2(\xi^\phi_{-1}+\xi^\phi_0r^{-1}+\xi^\phi_1r^{-2})+\partial_t\xi^r_{-1}=0$$
$$t\theta:\quad (\Lambda^2-1)r^2(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1}+\partial_\theta\xi^t_2r^{-2})-(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0+\partial_\theta\xi^\phi_2r^{-1})+(\partial_t\xi^\theta_{-1}r+\partial_t\xi^\theta_0)=0$$
$$t\phi:\quad (2\Lambda(\Lambda'\Omega+\Lambda\Omega'))(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Lambda^2\Omega\xi^r_{-1}+$$ $$+(\Omega(\Lambda^2-1))(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0+\partial_\phi\xi^t_1r^{-1})-\Omega\partial_\phi\xi^t_{-1}+$$ $$+\Lambda^2\Omega(\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r+\partial_\phi\xi^\phi_0)+\Lambda^2\Omega(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^t_0)+\Lambda^2\Omega\partial_t\xi^\phi_{-1}=0$$
$$rr:\quad \xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0=0$$
$$r\theta:\quad \partial_\theta\xi^r_{-1}+(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)=0$$
$$r\phi:\quad (\xi^t_{-1}r+\xi^t_0)+\xi^\phi_{-1}=0$$
$$\theta\theta:\quad \Omega'(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Omega(\partial_\theta\xi^\theta_{-1}r+\partial_\theta\xi^\theta_0)=0$$
$$\theta\phi:\quad (\partial_\phi\xi^\theta_{-1}r+\partial_\phi\xi^\theta_0)+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1})+$$ $$+\Lambda^2(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0)=0$$
$$\phi\phi:\quad (\Omega\Lambda'+\Lambda\Omega')\xi^\theta_{-1}r+\Lambda\Omega r(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda\Omega\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r=0$$
El problema es que la única ecuación que puede obtener algo de información, acerca de cómo mi vector debe comportarse en componentes es $rr$, a partir de la cual puedo obtener la forma general de la $\xi^\theta$ componente de diffeomorphism.
De $r\theta$ me sale que el $\xi^r_{-1}$ término es una constante que no depende de la $\theta$, e $\theta\theta$ ecuación de la confirmación de que $rr$ es la correcta.
Supongo que el hecho de que $\xi^r_{-1}$ no es cero, se podría decir que el $r$ componente comenzará en ese plazo (como en el artículo).
EDIT 6:
He añadido la recompensa para crear conciencia de esto, si alguien sabe si lo que hice hasta ahora es correcto, y qué hacer a continuación, por favor, dile :)
