Es $F(z)=\frac{i}{2}\log(z+i)-\frac{i}{2}\log(z-i)$ igual a $\arctan z$?

Question

Mostrar que $F(z)=\frac{i}{2}\log(z+i)-\frac{i}{2}\log(z-i)$ es una antiderivada de $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$$\operatorname{Re}(z)>0$. Es $F(z)$ igual a $\arctan z$?

Yo, básicamente, hizo $$\frac{d}{dz}F(z)=\frac{i}{2}\frac{1}{z+i}-\frac{i}{2}\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z^2+1}=f(z)$$ Por lo tanto, $F(z)$ es una antiderivada de $f(z)$.

Pero mi pregunta es :

1. ¿Por qué necesitamos a $\operatorname{Re}(z)>0$ aquí? Es que una preparación para $\arctan z$ a definirse o algo?

2. Creo que aunque $F'(z)=(\arctan z)'=f(z)$, no podemos decir $F(z)$ igual a $\arctan z$. Ya que se trata de uno de los miembros de la antiderivada de la familia de $\frac{1}{z^2+1}$. Es eso correcto?

Gracias~

Answer 1

1. La expresión $$F(z)=\frac{i}{2}\log(z+i)-\frac{i}{2}\log(z-i)$$ utiliza los registros. Los registros son malas noticias. Sabemos que en el fin de utilizar el registro de nosotros debe tener una función de varios valores, o recoger una rama.

   Podemos elegir la sucursal habitual por corte a lo largo del eje real negativo. Eso significa que $\log z$ está definido, pero sólo cuando se $\operatorname{Re} z > 0$. $+i$ $-i$ no afectan a este. Es por eso que la pregunta incluye el "$\operatorname{Re} z > 0$" condición.

2. Tienes razón en que sólo tienen la misma derivada no necesariamente es igual a $\arctan$. Sin embargo, es posible que acaba de pasar a ser igual. Así que usted tendrá que conectar un valor de $z$ y ver lo que sucede - $z = 1$ puede ser bueno. Por supuesto, usted tendrá que recordar la rama de $\log$ que estamos utilizando, y también consultar el libro de clase o de la rama de $\arctan$ que usted está usando.

Answer 2

$\Re(z) > 0$ es garantizar el registro son diferenciables. Si se define la rama de corte de $\ln z$ en el negativo de la $x$-eje, a continuación, $\ln (z\pm i)$ son analíticas en $\Re(z) > 0$, no puede ser extendido a $\Re (z) > c$ negativos $c$.

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Supongo que su $\ln z$ toma el valor del capital. $F(z)$ no es igual a $\arctan z$. De hecho, algunos cálculos sencillos da $$F(1) = \frac{i}{2}(\ln(1+i)-\ln(1-i))=-\frac{\pi}{4}$$ which means $$F(z) = \arctan z - \frac{\pi}{2}$$

De hecho, la correcta (principal) valor de $\arctan z$, para todos los $z$ a excepción de la rama de corte, es $$\arctan z = \frac{i}{2}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz))$$