Lo que está mal en esta evaluación $\lim_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}$ y por qué combinatoria argumentos no puede ser hecho?

Question

Las respuestas (así como la premisa) de esta pregunta me tiene confundido. Favor de señalar el error: $$\displaystyle \lim_{x\to\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{\log x}{x}} $$

Por L' Hospital de la regla de $$ \exp\left( \lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x}\right) = e^0 =1$$

Tres de las respuestas del estado un ejemplo de la forma $x\cdot\frac{c}{x}$, lo que yo no puedo ver cómo se relaciona.

Combinatorically, $\infty^0$ es el número de asignaciones del conjunto vacío en un conjunto de tamaño "infinito". Finita y positiva $n$, $n^0$ sería el número de asignaciones del conjunto vacío a un conjunto de cardinalidad $n$ de que el vacío de la función es el único. ¿Por qué este argumento no? ¿Qué significa decir que hay un número indeterminado de asignaciones, dicen desde el conjunto vacío para el conjunto de todos los números naturales? Yo no estoy familiarizado con el conjunto formal de la teoría (aún) y todo lo que sé es que hay algo peculiar acerca de infinito cardinalidades. Por lo que una referencia que hacer en este caso si la respuesta requiere el conocimiento de la teoría.

Answer 1

Su L'Hospital de la Regla de cálculo es perfectamente correcta. Si estaban haciendo "análisis" en lugar de cálculo, usted puede esperar para justificar el intercambio de $\exp$$\lim$, esto es, la línea que tiene la forma $$\lim_{x \to \infty} (\exp(f(x))=\exp(\lim_{x \to \infty} f(x))$$ pero en el cálculo del nivel de tal justificación no es el esperado. ( Son ejemplos en los que el intercambio de proceso conduce a la respuesta equivocada, por lo que en principio la justificación es realmente necesario, pero con el "seguro" de las funciones que en su mayoría se reúnen en el cálculo, problemas rara vez surgen.)

Si usted tiene una calculadora a la mano, usted puede hacer un punto de verificación de la razonabilidad de su respuesta, mediante el cálculo de $x^{1/x}$ para algunos bastante grandes,$x$, como $x=1000$. Llego $1.0069317$, que es bastante cerca de los $1$.

El punto de pedirle a usted para hacer el cálculo no es sólo como un cheque. Es para informarle sobre el significado de lo que están haciendo. Usted definitivamente no evaluar algo así como "$\infty^0$," lo que podría significar. (En realidad, lo que realmente no significa nada).

Lo que se hace es conocer el comportamiento de la función $x^{1/x}$ al $x$ se hace muy grande, eso es todo, no hay misterioso $\infty^0$.

Informal razonamiento sobre el llamado "infinito" es muy poco fiable. Hemos moderadamente buena intuición sobre conjuntos finitos. Con extremo cuidado, esta intuición puede extenderse a conjuntos infinitos. Pero, en cualquier caso, no estamos tratando con conjuntos infinitos. Estamos tratando con el comportamiento de un perfectamente concretas de la función de $f(x)$ $x$ se hace muy grande.

En particular, la "combinatoria" de un argumento que dan es muy impreciso, y de forma fiable para darle la respuesta correcta sólo cuando la respuesta es obvia. No tratará de forma fiable con cualquier de los llamados indeterminado formas.

Es una lástima que el lenguaje tradicional para describir indeterminado formas utiliza la mnemotecnia como $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ o $\infty^0$. Usted sabe muy bien que no podemos dividir $0$$0$. Del mismo modo, no podemos de manera significativa a elevar $\infty$, lo que puede significar, a la $0$-ésima potencia.

Pensar en términos de conjuntos infinitos es irrelevante, y en cualquier caso totalmente ineficiente. Su cálculo implican algún tipo de función vacía. Vamos a buscar que en lugar de la forma que tradicionalmente se llama "$1^\infty$". Usted podría estar tentado a pensar en términos de funciones de un conjunto infinito a un $1$ elemento del conjunto. Que sería totalmente ineficiente. Por ejemplo, el siguiente es un resultado importante: $$\lim_{n \to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$ De ninguna manera puede este resultado debe ser pensada en términos de funciones de un conjunto infinito a un $1$ elemento del conjunto.

Answer 2

Su primera evaluación es correcta; pero este no es el único tipo de "infinito a la 0" límite. ¿ $$\lim_{x\to\infty} x^{1/\ln (x)}\quad?$$ De nuevo, la base se extiende hacia el infinito, el exponente va a $0$. Por su "argumento combinatorio", la respuesta "debe ser" $1$. Pero no lo es. Proceder como lo hace en primera, $$\lim_{x\to\infty}x^{1/\ln (x)} = \lim_{x\to\infty}\exp\left(\frac{1}{\ln x}\ln x\right) = \exp\left(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\ln x}\right) = \exp(1) = e.$$ Así que la respuesta es $e$, no $1$. La "combinatoria interpretación" no funciona porque a pesar de $x^y$ está de acuerdo con el conjunto de la teoría de la interpretación de los números enteros, no tiene sentido arbitrario de números reales. ¿Cómo está la interpretación de $3^{1/3}$ "combinatoria"? El número de mapas a partir de un conjunto de tamaño $\frac{1}{3}$ a un conjunto de tamaño $3$?

En cuanto a por qué el ms responden mencionó $x\cdot\frac{c}{x}$, el punto es que si usted tiene un límite de la forma $$\lim f(x)^{g(x)}$$ (Estoy omitir lo $x$, debido a que el mismo argumento se aplica independientemente de si nos están tomando el límite cuando $x\to\infty$$x\to 3$$x\to a$$x\to b^{-}$, etc.) donde$\lim f(x) = \infty$$\lim g(x)=0$, entonces esto es equivalente, exactamente igual que al principio, con $$\lim f(x)^{g(x)} = \lim\> \exp\left( g(x)\ln(f(x))\right) = \exp\left(\lim g(x)\ln f(x)\right).$$ Por lo que se reduce al cálculo de un límite de la forma $$\lim g(x)\ln f(x)$$ donde$g(x)\to 0$$\ln f(x)\to\infty$. Este límite puede ser cualquier cosa, como en los ejemplos que $x\cdot\frac{c}{x}$ mostrar: set $g(x) = \frac{c}{x}$ (que va a$0$$x\to\infty$) y establezca $\ln f(x) = x$ (es decir, $f(x) = e^x$). Explícitamente, $$\lim_{x\to\infty} \left(e^x\right)^{\frac{c}{x}}$$ que es de la forma $\infty^0$, es igual a $e^c$, e $e^c$ puede ser cualquier número positivo.