Cómo optimizar Stiefel colector problema a través de Grassmann colector?

Question

de papel

Para Stiefel colector, que contiene todos los ortogonal de matrices columna

$$St(d,M) = \{X \in R^{M \times d} | X^TX = I\}$$

Para Grassmann colector, es $$Gr(d,M) = \{col(X), X \in R^{M \times d}\}$$

Para un problema objetivo $$ \min_{X \in St(d,M)} f(X)$$

podemos resolver sobre la optimización del uso de $$ \min_{X \in Gr(d,M)} f(X)$$

Está por encima de transformar legal? o $f(X)$ deben satisfacer algunas condiciones?

Answer 1

Aquí $d\leq M$ y trabajamos más de $\mathbb{R}$. Su definición de la $Gr$ es falso; la $X$ debe tener rango completo; por otro lado, no es una buena parametrización; debe agregar el cociente por la relación de equivalencia: $X\sim X'$ fib $X'=Xh$ donde $h\in GL_d$.

Considere las funciones canónicas

$f:O(M)\rightarrow St(d,M),g:O(M)\rightarrow Gr(d,M),h:St(d,M)\rightarrow Gr(d,m)$.

Desde $f,g,h$ son inundaciones, podemos deducir que

$St(d,M)\sim O(M)/O(M-d),Gr(d,M)\sim St(d,M)/O(d)$

$\sim O(M)/(O(d)\times O(M-d))$.

Tenga en cuenta también que $Gr(d,M)\sim Gr(M-d,M)$ e tiene dimensión $d(M-d)$.

EDIT. Respuesta a la OP. Los problemas

$\min_{U\in St(d,N)}<UU^T,L>+\beta ||UU^T||_1$ y

$\min_{U\in Gr(d,N)}<UU^T,L>+\beta ||UU^T||_1$ son equivalentes bajo la condición de que un representante de $U\in Gr$ es una de sus bases ortonormales.