Dado $\epsilon>0$, necesito crear un primer fin de la educación a distancia que se define por todas partes en $\mathbb{R}$, de tal manera que todas las soluciones a esta ODA sólo están definidas en un intervalo de longitud de $\leq \epsilon$.
Mi intento: $$x'(t) = \frac{1}{\log(10)}\left(\frac{1}{\epsilon/t -1}\right)\frac{\epsilon}{t}.$$ Esto tiene soluciones $$ x(t) = \log_{10}\left( \frac{\epsilon}{t}-1 \right) + c $$ para $c\in\mathbb{R}$.
El problema es que mi ODA y las soluciones se definen únicamente en el intervalo de $(0,\epsilon)$, no todos los de $\mathbb{R}$.
Mi profesor me dijo que yo estaba cerca, pero mi ODA debe ser autónomo, por lo que es definido en todas partes. No hay manera de que yo pueda ver cómo extender mi ejemplo a ser lo que se desea. No creo que estoy cerca de todo. Cualquier sugerencias o ayuda se agradece.
