El mínimo autovalor de la desigualdad

Question

Mi problema es mostrar que $$\lambda_{\min}(PA) \leq \lambda_{\min}((D-M)A) ,$$ where $Un$ is an arbitrary $n\times n$ symmetric positive definite matrix and $P$ is a diagonal matrix with $\frac{1}{A_{ii}}$ as the $i$-th diagonal element and $D$ is a diagonal matrix with the $i$-th diagonal element equal to $\sum_{j = 1}^n\frac{p_{ij}A_{jj}}{\det_{ij}}$ and $M$ is a symmetric matrix with $M_{ij} = \frac{p_{ij}A_{ij}}{\det_{ij}}$, where $p_{ij}$ are probabilities with $p_{ii} = 0,\, \forall i$, $p_{ij} = \frac{1}{n-1}$ for $i\neq j$, and $\det_{ij} = A_{ii}A_{jj} - A_{ij}^2$ for $i \neq j$, and $\det_{ii} = 1$ for all $i$. $A_{ij}$ is the element on the $i$-th row and $j$-th column. I have tried many simulations and this statement always holds, even with some special cases $2$ can be substituted by arbitrary large constant, but I am not able to contstruct a proof except when $Una$ es diagonal.

Answer 1

La siguiente es una exploración. Esto da una prueba para $n=2$ y el bloque diagonal $A$ $2\times2$ bloques. Esperemos que alguien se inspiró para encontrar una prueba para el caso general.

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$$A= \frac1{n-1}\sum_{i<j}A_{i,j},\quad D-M=\frac{1}{n-1}\sum_{i<j}A_{i,j}^{(-1)},\quad P=\frac1{n-1}\sum_{i<j} \big(\text{diag}(A_{i,j})\big)^{-1}$$ donde $A_{i,j}$ $n\times n$ matriz con la entrada $(i,j)$ igual a la entrada $A_{ij}$, entrada de $(i,i)$ igual a $A_{ii}$ y la entrada $(j,j)$ igual a $A_{jj}$, y el resto de las entradas cero; donde $A^{(-1)}_{i,j}$ $n\times n$ matriz de las entradas $(i,i),\,(i,j),\,(j,i),\,(j,j)$ iguales a las correspondientes entradas de la inversa de la fila $i$ columna $j$ principal menor de $A$, y el resto de las entradas cero.

Al $n=2$, $PA=\begin{bmatrix}1 & * \\ * & 1\end{bmatrix}$ which is positive definite. Its minimal eigvenvalue of is no larger than $1$ which is that minimal eigenvalue of its diagonal matrix $I$. $(D-M)A=I$. Así el deseado desigualdad se cumple.

Al $n>2$, $$(D-M)A=\frac1{n-1}\Big(I+\frac1{n-1}\sum_{i<j,\,k<l}A_{i,j}^{-1}A_{k,l}\Big),$$ donde exactamente dos de $i,j,k,l$ son iguales.