Puedo obtener alguna orientación en la solución de $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \, dx$?

Question

Estoy tratando de evaluar: $$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} \, dx.$$ Usando el contorno de un semi-círculo (plano superior), puedo conseguir: $$ \oint_{C} f(z) \,dz = \oint_{C} \frac{1 - e^{2iz}}{z^2} \, dz.$$ El tema central es la $z^2$. No puedo utilizar el residuo de la teoría, ya que se encuentra en el contorno.

No quiero una solución completa. Realmente quiero probar por mi cuenta, sólo necesito un poco de orientación!

Answer 1

El integrando contiene una singularidad removible en $z=0$. Es decir, el integrando es una función completa.

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Esta respuesta muestra cómo calcular $$ \int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\sin(x)}x\right)^n\mathrm{d}x $$ en primer lugar mostrando que es igual a $$ \int_{-\infty-i}^{\infty-i}\left(\frac{\sin(x)}x\right)^n\mathrm{d}x $$ El uso de $\sin(x)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ y el teorema del binomio, se aplica el contorno de integración para obtener $$ \int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\sin(x)}x\right)^n\mathrm{d}x=\frac{2\pi}{2^n(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k)^{n-1} $$ Para $n=2$, esto le da $$ \int_0^\infty\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\frac\pi2 $$

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Otro enfoque, el uso de Sumas de Riemann, se muestra en esta respuesta.

Answer 2

Evite $z=0$ con un semicírculo $c_\epsilon$ radio $\epsilon>0$ pequeñas (sentido de las agujas del reloj). Usted tendrá que calcular $$ \lim_{\epsilon\to0}\int_{c_\epsilon}\frac{1-e^{2iz}}{z^2}\,dz. $$

Answer 3

Cómo acerca de la buena vieja integración por partes? $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^2} dx = \Big|_{-\infty}^{+\infty} -\frac{\sin^2(x)}{x} + \int_{-\infty}^{+\infty} \frac {2 \sin(x)\cos(x)}{x} dx = 0+ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(2x)}{x} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi $$ where at the end I use the substitution $u=2x$ and the final integral is well-known to equal $\pi$ ( si usted no está familiarizado con este resultado, dime, puedo demostrar que también)

Answer 4

Otra forma de pensar acerca de esto es tener en cuenta que el$$\displaystyle \int\frac{\sin^2(x)}{x^2} dx = \int \frac{\sin(x)}{x} dx$$, a Continuación, puede utilizar el sabe muy bien la solución a la integral de Dirichlet. Si no ver cómo las dos integrales son relacionados puedo probarlo dos. Sugerencia: use integración por partes.